Số cạnh cần thiết để đảm bảo

Tôi đang cố gắng giải quyết một vấn đề nhất định: Tìm một thuật toán để xác định xem đồ thị có một cụm có kích thước 3 trong các bước . Gợi ý được đưa ra là . Để giải quyết điều này, tôi đã đưa ra một phỏng đoán: nếu thì đồ thị có là một sơ đồ con. Điều này sẽ dễ dàng giải quyết vấn đề nếu phỏng đoán là đúng. $O(n^{2.81})$ $2.81 > \log 7$ $m > n^{\log 7}$ $K_3$

Tôi đang cố gắng tranh luận bằng mâu thuẫn: Đặt và giả sử không tồn tại một đồ con . Sau đó, đối với bất kỳ bộ ba đỉnh nào, có chính xác 7 lựa chọn về cách kết nối chúng. Tuy nhiên, tôi bế tắc về cách tiến bộ từ đây. $m > n^{\log 7}$ $K_3$

Có ai thấy một cách để chứng minh điều này, hoặc nếu phỏng đoán là đúng. Tôi cũng quan tâm xem liệu phỏng đoán có thể được mở rộng hay không, tức là nếu có tồn tại một đồ con không? $m > n^{\log 2^k -1})$ $K_k$

graph-theory

— kbrose
nguồn

Bạn cần cạnh để đảm bảo hình tam giác (xem en.wikipedia.org/wiki/Turán's_theorem ). Thay vào đó hãy thử sử dụng phép nhân ma trận.

n^{2} / 4 + 1

$n^2/4 + 1$

— Louis

@Louis Sự phân chia nên được thả nổi hoặc trần tôi đoán

— saadtaame

Những gì là

m

$m$ ? Số cạnh? Nếu

n

$n$ là số đỉnh, bạn không thể có biểu đồ với

n^{\log 7}

$n^{\log 7}$ các cạnh, vì vượt quá số cạnh tối đa có thể, đó là . Ngay cả đặt điều đó sang một bên, phỏng đoán của bạn sẽ không đủ. Chắc chắn, cạnh đảm bảo một tam giác (định lý của Mantel, được khái quát bởi Turán) nhưng một tam giác cộng với một triệu đỉnh bị cô lập chứa một tam giác và nó có ít hơn 250.000.000.001 cạnh.

(\binom{n}{2})

$\binom{n}{2}$

⌊ n^{2} / 4 ⌋ + 1

$\lfloor n^2/4\rfloor+1$

— David Richerby

@DavidR Richby Điểm đầu tiên của bạn khá chính xác. Tôi đã nghĩ không chính xác rằng nếu tôi có thể giả sử số đỉnh iwas ít hơn thì tôi chỉ có thể chạy qua tất cả các cạnh và đi đến kết luận cần thiết. Đây là, bây giờ tôi nghĩ về nó trong hơn một vài giây, khá lố bịch. Tuy nhiên, điểm thứ hai của bạn bỏ lỡ điểm của những gì tôi đã cố gắng thực hiện với phỏng đoán. Ví dụ của bạn thực sự có nhiều đỉnh hơn các cạnh, nhưng tôi nghĩ sẽ không phải lo lắng về các đỉnh nếu tôi có thể giả sử số cạnh đó tương đối nhỏ, điều này có hợp lý không?

n^\log 7

$n^\log 7$

— kbrose

Gợi ý: Phép nhân ma trận chạy trong thời gian . Một ma trận có liên quan là ma trận kề của đồ thị. $O(n^{2.71})$

Trên thực tế, điều này đã được cải thiện nhiều lần trong quá khứ. Gần đây, Le Gall đã cải thiện điều này thành thời gian . Người ta phỏng đoán rằng phép nhân ma trận chạy trong thời gian cho mọi . $O(n^{2.3728639})$ $O(n^{2+\epsilon})$ $\epsilon > 0$

— Yuval Filmus
nguồn