Áp dụng định lý bốn màu

8

Tôi đã đọc lên định lý bốn màu và tự hỏi liệu có ứng dụng thực tế nào của nó không. (Tôi không nghĩ việc tách bản đồ thành bốn màu khác nhau có thể được coi là một ứng dụng.)

Tôi đã thử Googling cho các ứng dụng nhưng không thể tìm thấy.

graph-theory colorings

— Tính toán
nguồn

Vì người ta đã biết rằng năm màu làm đủ (với một bằng chứng đơn giản), câu hỏi thực sự là: ứng dụng nào có lợi từ thực tế là bốn màu thay vì năm màu đủ.

— Yuval Filmus

Các bản đồ tô màu có thể cho là không phải là một ứng dụng, vì định lý không cho phép các vùng lãnh thổ bị ngắt kết nối. Ví dụ, Alaska, Hawaii và Hoa Kỳ lục địa đều cần phải có cùng màu. Khả năng các vùng lãnh thổ bị ngắt kết nối có nghĩa là biểu đồ tương ứng với bản đồ không nhất thiết phải là mặt phẳng: thực sự có thể nhận ra bất kỳ đồ thị nào có cạnh bằng cách có đảo như các quốc gia và chia sẻ một hòn đảo iff là một cạnh trong biểu đồ. Tôi không thể nhớ nếu bản đồ thế giới thực có 4 màu; nó có thể là

m

$m$

m

$m$

i

$i$

j

$j$

i j

$ij$

— David Richerby

7

Một trong 4 ứng dụng Định lý màu đáng chú ý nhất là trong các cột điện thoại di động. Tất cả các cột này bao gồm các khu vực nhất định với một số ý nghĩa chồng chéo mà tất cả chúng không thể truyền trên cùng một tần số. Một phương pháp đơn giản để đảm bảo rằng không có hai cột buồm nào trùng nhau có cùng tần số là cung cấp cho chúng tất cả tần số khác nhau. Nhưng, vì chính phủ sở hữu tất cả các tần số và tính phí cho mỗi tần số, người ta muốn sử dụng số lượng tần số tối thiểu có thể. Các khu vực được bao phủ có thể được vẽ dưới dạng bản đồ và các tần số khác nhau có thể được biểu diễn dưới dạng màu sắc.

— Raaman Nair
nguồn

Nói cách khác, giả sử rằng bốn màu có thể được tìm thấy một cách hiệu quả, bạn chỉ cần đặt trước bốn tần số ngay cả khi vị trí chính xác của cột buồm không xác định (hoặc thậm chí có thể thay đổi).

— Yuval Filmus

1

Điều này có thực sự đúng không? Biểu đồ không được đảm bảo là phẳng (năm cột gần nhau sẽ tạo ra một sơ đồ con

) vì vậy nó không được đảm bảo là bốn màu.

K_{5}

$K_5$

— David Richerby

@YuvalFilmus Đồ thị hai mặt phẳng có thể có bốn màu trong thời gian bậc hai: Robertson, Sanders, Seymour và Thomas, "Đồ thị hai mặt phẳng bốn màu hiệu quả", Proc. STOC 1996 ( PDF ).

— David Richerby

Trên thực tế, cho phép tôi trở lại và đưa ra một tuyên bố mạnh mẽ hơn. Điều này không đúng, chính xác là do năm cột buồm được đặt sát nhau dẫn đến

. Trên thực tế, đây là một ứng dụng của thực tế là có một thuật toán thời gian đa thức để tính toán số lượng đồ thị đĩa đơn vị , không nhất thiết phải là phẳng và không nhất thiết phải có 4 màu.

K_{5}

$K_5$

— David Richerby

3

Các vấn đề màu đồ thị được áp dụng rộng rãi cho các vấn đề lập kế hoạch.

Hãy xem xét một trường đại học, nơi bạn đang cố gắng sắp xếp thời gian cho tất cả các kỳ thi cuối cùng. Một số sinh viên đang tham gia nhiều hơn một lớp, vì vậy bạn muốn chắc chắn rằng họ không có hai bài kiểm tra được lên lịch cùng một lúc. Tuy nhiên, bạn muốn thời gian viết bài kiểm tra của bạn càng ngắn càng tốt, để chạy càng nhiều bài kiểm tra đồng thời càng tốt.

$G=(V,E)$

Vấn đề nói chung là NP khó, nhưng nếu bạn có một số kiến thức về lịch trình của mình, giả sử đó là phẳng, thì bạn có thể áp dụng định lý 4 màu để viết tất cả các bài kiểm tra cùng nhau.

Tôi không chắc chắn 100% bạn từng có một biểu đồ phẳng trong một vấn đề lập lịch thực tế, nhưng có một bài học rộng hơn ở đây: biểu đồ được áp dụng rộng rãi cho những điều không rõ ràng ngay lập tức. Định lý 4 màu không chỉ là về đồ thị và bản đồ, nó có thể được sử dụng để mô hình hóa các vấn đề thực tế trong cuộc sống mà bạn đang thể hiện một số tập hợp các đối tượng và một số quan hệ nhị phân giữa các đối tượng đó.

— jmite
nguồn

1

Có vẻ như bạn không thể có được một biểu đồ phẳng trong một vấn đề lập lịch vì như bạn nói, điều đó sẽ cho phép bạn giải quyết mọi thứ chỉ bằng bốn vị trí. (Ví dụ: trong ví dụ cụ thể mà bạn đưa ra, biểu đồ không phải là mặt phẳng nếu có một học sinh duy nhất học năm lớp.)

— David Richerby

-3

$n$ $n$ $n$ $n$ $n$ $n$ $n \geq 3$ bản đồ 4 màu & phẳng được nghiên cứu trong tài liệu. tức là để có được cảm nhận tốt hơn về tầm quan trọng của nó, người ta sẽ phải nghiên cứu các mức giảm có thể có đối với nó, đây là một chủ đề phức tạp / nâng cao / mở rộng.

nhưng một góc độ khác là câu hỏi 4 màu của bản đồ / đồ thị phẳng là một vấn đề mở khó khăn trong toán học / khoa học máy tính trong nhiều thập kỷ (thực ra đã hơn 1 thế kỷ và là một trong những vấn đề đồ thị tiên tiến nhất sớm nhất). toán học tiến bộ thông qua việc giải quyết các vấn đề chưa được giải quyết. nó phù hợp với một mô hình cốt lõi chung của "các vấn đề dễ nêu ra nhưng các giải pháp / bằng chứng không thể truy cập được trong một thời gian dài và rất phức tạp". đây là một bất đối xứng cơ bản phổ biến rộng rãi trong toán học cho thấy các giới hạn của đòn bẩy toán học / lý thuyết .

các kỹ thuật được tìm thấy để thành công có thể được áp dụng cho các vấn đề chưa được giải quyết khác và đôi khi mở ra các vistas lý thuyết / khái niệm mới. đôi khi các bằng chứng đáng chú ý có giá trị theo quyền riêng của họ và định lý 4 màu phù hợp với thể loại này. nó là một trong những bằng chứng định lý tự động sớm tinh vi nhất. công việc tiếp theo đã đi vào cải tiến đơn giản hóa con người có thể đọc được kể từ khi nó được phát hiện và gây ra một cú sốc tương đối thông qua cộng đồng lý thuyết về thông báo của nó, và gây ra nhiều phân tích và bình luận hơn nữa. nó phục vụ như một điểm chuẩn / mốc quan trọng / trường hợp thử nghiệm để cải thiện định lý tự động .

[1] 3 màu là NP hoàn thành

— vzn
nguồn

1

n

$n$

n

$n$