Ý nghĩa của

Có một kết quả cơ bản về độ phức tạp của mạch cho biết:

Tồn tại một ngôn ngữ không thể giải quyết bằng các mạch có kích thước $o(\frac{2^n}{n})$.

Đối số là một đối số đếm đơn giản về số lượng hàm boolean và số lượng mạch riêng biệt. Xem, ví dụ, những ghi chú bài giảng .

Tôi tin rằng không biết liệu ràng buộc này có chặt chẽ hay không. Đó là, chúng tôi không biết nếu tuyên bố sau là đúng:

Mỗi ngôn ngữ có thể được giải quyết với các mạch kích thước $O(\frac{2^n}{n})$.

Nếu tuyên bố này là đúng, liệu nó có bất kỳ ý nghĩa thú vị nào cho lý thuyết phức tạp không?

Điều này đã được Muller chứng minh vào đầu năm 1956. Đây là công trình. Để cho$k$là một tham số. Trước tiên, chúng tôi tính toán tất cả các chức năng có thể trên đầu tiên$k$ đầu vào trong kích thước $O(2^{2^k})$(xem bên dưới). Sau đó, chúng tôi xây dựng một cây quyết định cho người khác$n-k$các biến, kết nối nó với chức năng chính xác trên các biến còn lại. Cái này mất$O(2^{n-k})$ (xem bên dưới), với tổng số $O(2^{2^k}) + O(2^{n-k})$. Lựa chọn$k = \log (n - \log n)$, chúng tôi có được ràng buộc mong muốn.

Chúng tôi tính toán tất cả các chức năng có thể trên $k$đầu vào quy nạp. Để cho$Z_k$ là kích thước của một mạch điện toán tất cả các chức năng có thể trên $k$đầu vào. Có hai chức năng trên đầu vào không, vì vậy$Z_0 = 2$. Mọi chức năng$f(x_1,\ldots,x_k)$ trên $k$ đầu vào có thể được viết là $x_k f(x_1,\ldots,x_{k-1},1) + \overline{x_k} f(x_1,\ldots,x_{k-1},0)$, vì thế $Z_k = Z_{k-1} + 2^{2^k} \cdot O(1)$. Giải pháp của sự tái phát này là$Z_k = O(2^{2^k})$.

Để tính toán cây quyết định, chúng tôi sử dụng một cấu trúc tương tự: cho một cây $T$ cho người đầu tiên $k-1$ các biến, chúng ta có thể xây dựng một cây cho đầu tiên $k$ các biến có dạng $x_k T + \overline{x_k} T$. Sự tái phát chúng tôi nhận được là$W_k = 2W_{k-1} + O(1)$, giải pháp của ai là $W_k = O(2^k)$.