Chính xác một NP và co-NP có thể bằng P không?

Có thể tôi đang thiếu một cái gì đó rõ ràng, nhưng nó có thể là P = co-NP NP hay ngược lại? Cảm giác của tôi là phải có một số định lý loại trừ khả năng này.$\subsetneq$

Không, bởi vì $\mathsf{P}$ đã đóng để bổ sung cho điều này không thể, và chúng ta thậm chí biết rằng $\mathsf{P}=\mathsf{NP} \implies \mathsf{NP}=\mathsf{co\text{-}NP}$ .

Chúng ta hãy giả sử rằng $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ và để $L \in \mathsf{co\text{-}NP}$ , do đó $L^c \in \mathsf{NP}$ . Chúng tôi giả sử $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ và do đó tồn tại TM $M$ st $L(M)=L^c$ . Nếu chúng ta lấy "phần bù" của $M$ , đó là một máy $M'$ giống hệt với $M$ ngoại trừ trạng thái chấp nhận và từ chối của nó bị đảo ngược, chúng ta sẽ nhận được $L(M')=(L^c)^c=L$ và do đó $L$ nằm trong $\mathsf{NP}$ .

Điều này cho thấy rằng, theo giả định rằng , chúng ta nhận được và do đó .$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$(\mathsf{P}=)\mathsf{NP}=\mathsf{co\text{-}NP}$$\mathsf{P}=\mathsf{co\text{-}NP}$

$\mathsf{P}$ được đóng dưới phần bổ sung (ví dụ ¹); vì vậy, nếu (hoặc ) thì$\mathsf{P}=\mathsf{co\text{-}P}$$\mathsf{P}=\mathsf{co\text{-}NP}$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$\mathsf{co\text{-}NP} = \mathsf{NP}$

1. Đưa ra một ngôn ngữ , chúng ta có thể xây dựng một TM xác định 'quyết định trong thời gian đa thức chỉ bằng cách lấy TM quyết định và ...$L \in \mathsf{P}$$\overline L$$L$