Có vấn đề sau đây đã được nghiên cứu trước? Nếu có, phương pháp / thuật toán nào đã được phát triển để giải quyết nó?
Vấn đề ("Vấn đề chiều cao xếp chồng tối đa")
Cho đa giác, tìm sự sắp xếp ổn định, không chồng chéo của chúng để tối đa hóa chiều cao xếp chồng của chúng trên một sàn cố định dưới tác động của trọng lực.
Thí dụ
Ba đa giác:
và ba trong số vô số các sắp xếp ổn định, không chồng chéo của chúng, với các chiều cao xếp chồng khác nhau:
Làm rõ
- Tất cả các đa giác có khối lượng đồng đều và mật độ bằng nhau
- Ma sát bằng không
- Trọng lực tác dụng lên mọi điểm theo hướng đi xuống (tức là các vectơ lực đều song song)
- Cấu hình không được coi là ổn định nếu nó nằm trên điểm cân bằng không ổn định (ví dụ: tam giác màu xanh lục trong ảnh không thể cân bằng trên bất kỳ đỉnh nào của nó, ngay cả khi khối lượng ở bên trái và bên phải của điểm cân bằng bằng nhau)
- Để làm rõ hơn điểm trên: Một đa giác được coi là không ổn định ("lật đổ") trừ khi nó nằm trên ít nhất một điểm ở bên trái và ít nhất một điểm ở bên phải trọng tâm của nó (định nghĩa này đơn giản hóa rất nhiều mô phỏng và đặc biệt làm cho tích hợp vị trí, vv không cần thiết cho mục đích đánh giá liệu một sự sắp xếp có ổn định hay không.
- Vấn đề ở dạng "vật lý" của nó là một vấn đề liên tục chỉ có thể được giải quyết xấp xỉ trong hầu hết các trường hợp. Để có được một vấn đề riêng biệt có thể được giải quyết bằng thuật toán, hãy giới hạn cả các đỉnh đa giác và vị trí của chúng trong sự sắp xếp thành các mạng phù hợp.
Ghi chú
- Phương pháp tiếp cận vũ lực của bất kỳ loại nào rõ ràng là không khả thi. Ngay cả với những hạn chế nghiêm ngặt về vị trí của đa giác bên trong mạng tinh thể (chẳng hạn như cung cấp một "không gian mạng" giới hạn), sự phức tạp chỉ đơn giản bùng nổ trong hơn một vài đa giác.
- Các thuật toán lặp phải mang lại một số phương pháp phỏng đoán rất thông minh vì dễ dàng xây dựng các sắp xếp trong đó việc loại bỏ bất kỳ kết quả đa giác nào trong cấu hình trở nên không ổn định và các sắp xếp như vậy không thể truy cập được bởi các thuật toán dựa trên mỗi bước trung gian ổn định.
- Vì vấn đề có mùi ít nhất là NP- nhưng nhiều khả năng EXPTIME - hoàn thành trong tổng số đỉnh, ngay cả các phương pháp phỏng đoán cũng sẽ được quan tâm đáng kể. Một điều mang lại hy vọng là thực tế là hầu hết con người sẽ nhận ra rằng sự sắp xếp thứ ba trong ví dụ là tối ưu.
Đối với định nghĩa "không ổn định" (mặc dù có thể không chính xác hơn), về nguyên tắc, người ta có thể giải quyết vấn đề chính xác bằng cách loại bỏ định lượng của các trường đóng thực sự .
@RickyDemer: Tôi thực sự muốn hiểu điều đó, nhưng than ôi, mặc dù tôi đã lướt qua tờ giấy và làm theo những điểm chính, tôi không thấy kết nối. Bạn có thể cho tôi thêm một vài gợi ý? Một liên kết giữa vấn đề xếp chồng và đại số chắc chắn nghe hấp dẫn.
Đó có thể là do tôi liên kết không chính xác với một thủ tục quyết định thay vì thuật toán loại bỏ định lượng . Bài viết này là một tài liệu tham khảo tốt hơn nhiều cho những gì tôi đã nói về. Tôi cũng tìm thấy một bài báo về một số trường hợp bậc hai có thể đủ khi các tọa độ đỉnh đều hợp lý.
:) Tôi cũng tìm thấy một số tài liệu rõ ràng hơn liên kết hình học tính toán với loại bỏ định lượng. Bây giờ tôi hiểu những gì bạn có nghĩa là "mặc dù có thể không cho những người chính xác hơn"; thật vậy, dường như không thể mở rộng các phương pháp hoàn toàn chính thức như vậy sang vật lý "thực", trong đó các ràng buộc phức tạp như phương trình vi phân xuất hiện. Tuy nhiên, cảm ơn bạn vì góc tấn công rất thú vị, tôi sẽ dành thời gian nghiên cứu nó.