Chứng minh ngôn ngữ (ir) thường xuyên (phương pháp tiêu chuẩn đã thất bại)

Tôi hiện đang cố gắng chứng minh ngôn ngữ thường xuyên (để giải trí cá nhân). Ngôn ngữ là:

Ngôn ngữ chứa tất cả các số trong ternary có chẵn lẻ bit khi được mã hóa dưới dạng nhị phân.

Bây giờ, tôi hiện đã thử một vài cách tiếp cận khác nhau mà không đưa tôi đến bất kỳ thành công nào. Tôi đã thử sử dụng bổ đề bơm (không thể tìm thấy bất cứ thứ gì để bơm), Myhill-Nerode (tương tự) và thậm chí đã đếm số chuỗi của mỗi độ dài mà câu lệnh là đúng (trực giác của tôi là nó kiểm tra được một lập luận xác suất).

Có bất kỳ cách tiếp cận nào khác của họ có thể giúp đỡ ở đây, hoặc có bất kỳ trực giác nào có thể hữu ích? Tại thời điểm này, dự đoán tốt nhất của tôi là ngôn ngữ không thường xuyên, nhưng dường như tôi không thể đưa ra lời giải thích.

formal-languages regular-languages arithmetic

— James
nguồn

Bạn có chắc chắn rằng đó là một ngôn ngữ không thường xuyên ?? Hãy xem xét ngôn ngữ trên sao cho các chuỗi có số chẵn. Đây là một ngôn ngữ thông thường. Bây giờ áp dụng phép đồng hình trên ngôn ngữ này để chuyển đổi nó thành ngôn ngữ chứa tất cả các chuỗi ternary. Phép đồng hình nghịch đảo xác định sơ đồ mã hóa. Các ngôn ngữ thông thường được đóng lại dưới sự đồng hình và đồng hình nghịch đảo.

{0, 1}^{*}

$\{0,1\}^*$

— Dib

@Dib Tôi không nghĩ rằng đây là một cách tiếp cận hợp lệ, đơn giản vì tôi không tin rằng có tồn tại một sự đồng hình như vậy. Để mở rộng, theo tôi hiểu, đồng cấu phải là một hàm từ các chữ cái trong bảng chữ cái đến các chuỗi, vì vậy 1, 0, 1101 phải ánh xạ tới A, B, AABA, trong đó A và B là các chuỗi theo thứ tự. 1 bản đồ thành 1 trong ternary và 0 map thành 0 trong ternary, nhưng 1101 ánh xạ tới 111 và không phải 1101 trong ternary.

— James

Tôi nên thêm rằng tôi gần như chắc chắn rằng ngôn ngữ này là không thường xuyên. Điều này là do khoảng 50% số loại 10 * (tức là lũy thừa 3) trong cơ sở 3 có tính chẵn lẻ, như chúng ta có thể mong đợi một cách hợp lý (theo kinh nghiệm, tôi đã kiểm tra tới ). Điều này có nghĩa là người ta có thể mong đợi một cách hợp lý để bơm vào thứ gì đó ở dạng này, bơm vào thứ gì đó có dạng để nhận được thứ gì đó như . Điều này sẽ không có trong ngôn ngữ với xác suất 0,5. Vấn đề là tôi không thể chứng minh chính xác điều này - tôi kết thúc bằng một cuộc tranh cãi xác suất.

3^{20000}

$3^{20000}$

3^{n}

$3^n$

3^{n + m}

$3^{n+m}$

— James

Điều này có thể được chứng minh, nhưng bạn cần một số công cụ không cần thiết để làm điều đó.

Bắt đầu với tập S = {0,3,5,6, ...} của các số nguyên không âm có số chẵn là 1 trong phần mở rộng cơ số 2 của chúng.

Điều nổi tiếng là bộ này là "2 tự động"; nghĩa là, có một máy tự động hữu hạn chấp nhận chính xác các phần tử mở rộng cơ sở 2 của S. Ngoài ra, người ta biết rằng bộ này cuối cùng không phải là định kỳ (nghĩa là không có sự tồn tại của giai đoạn P sao cho sau một số điểm C, nếu x> = C nằm trong S thì x + P) cũng vậy. (Nếu đúng như vậy, thì từ Thue-Morse liên quan 01101001 ... cuối cùng sẽ là định kỳ, nhưng được biết từ bài báo năm 1912 của Thue không chứa bất kỳ khối nào được lặp lại ba lần liên tiếp.)

Tiếp theo, giả sử S thực sự là "3 tự động"; nghĩa là, có một máy tự động chấp nhận chính xác các phần tử mở rộng cơ sở 3 của S. Sau đó theo một định lý cổ điển của Cobham (Math. Systems. Theory 3 (1969) 186-192, điều này có nghĩa là S cuối cùng là định kỳ. Nhưng chúng tôi đã thấy nó không phải là.

Bạn có thể tìm thấy nhiều hơn về những ý tưởng này trong cuốn sách của tôi với Allouche, "Chuỗi tự động". Mặc dù vậy, cảnh báo, bằng chứng về Cobham của chúng tôi có một chút thiếu sót và phiên bản sửa lỗi của Rigo có thể được tìm thấy trực tuyến tại đây: http://arxiv.org/abs/0907.0624 .

— Jeffrey Shallit
nguồn

Cảm ơn rât nhiều. Tôi hình dung tôi cần một loại công cụ không cần thiết, nhưng tôi chưa có sự giáo dục (chưa) để tìm ra cái nào!

— James

@Jeffrey: Sử dụng tốt Cobham's; Vì tò mò, bạn có tin rằng bất kỳ bằng chứng nào cũng sẽ yêu cầu nó - hoặc sẽ nhúng nó bằng cách nào đó?

— Michaël