Làm thế nào để chúng tôi biết bất kỳ vấn đề nào trong NP-Complete nếu chúng tôi không biết tất cả các vấn đề trong NP?

Một vấn đề là NP-đầy đủ nếu:

1. Đó là trong NP.
2. Tất cả các vấn đề trong NP có thể làm giảm nó.

Đó là số 2 mà tôi quan tâm ở đây. Tôi sẽ rất ngạc nhiên nếu chúng tôi biết mọi vấn đề trong NP. Dựa trên giả định đó, làm thế nào để chúng tôi biết chắc chắn rằng có bất kỳ vấn đề nào đã hoàn thành NP? Ví dụ: làm thế nào để chúng ta biết rằng không có vấn đề nào mà chúng ta không biết sẽ giải quyết vấn đề Hài lòng của Boolean, nhưng không phải là vấn đề Clique? Hoặc một vấn đề như vậy sẽ là NP-Trung gian và do đó cần P! = NP để tồn tại?

Chúng ta biết tất cả các vấn đề trong NP. Mỗi vấn đề trong NP được đưa ra bởi một máy Turing không xác định chạy trong thời gian đa thức. Steve Cook (và, một cách độc lập, Leonid Levin) đã chứng minh rằng SAT hoàn thành NP bằng cách mã hóa tuyên bố "Máy$M$ chấp nhận $x$ đưa ra lựa chọn không xác định $y$"như một công thức logic cho mọi máy Turing không xác định; cho một máy chạy kịp thời $T$ và không gian $S$, mã hóa có độ dài khoảng $O(TS)$, vậy khi nào $M$là thời gian đa thức, mã hóa có độ dài đa thức. Công thức SAT tương ứng nói rằng "đối với một số$y$, máy móc $M$ chấp nhận $x$ đưa ra lựa chọn không xác định $y$". Công thức này là thỏa đáng $M$ chấp nhận $x$.

Đã chứng minh rằng một vấn đề là NP-đầy đủ, không cần phải thực hiện mã hóa này nữa. Để chứng minh rằng một số vấn đề khác$L$ là NP-hard, nó đủ để giảm SAT xuống $L$. Mọi vấn đề trong NP đều có thể giảm xuống SAT và thông qua việc giảm phụ trợ, để$L$. Đây là cách mà kết quả độ cứng NP được chứng minh hiện nay, bằng cách giảm từ một số vấn đề NP-hard.