Khoảng cách ngắn nhất giữa một điểm trong A và một điểm trong B

Cho hai tập hợp $A$ và $B$ mỗi tập hợp chứa $n$ điểm khác nhau trong mặt phẳng, tính khoảng cách ngắn nhất giữa một điểm trong $A$ và một điểm trong $B$ , tức là $\min \space \{\mbox{ } \text{dist}(p, q) \mbox{ } | \mbox{ } p \in A \land q \in B \space \}$ .

Tôi không chắc mình có đúng không, nhưng vấn đề này rất giống với các vấn đề có thể được giải quyết bằng lập trình tuyến tính trong hình học tính toán. Tuy nhiên, việc giảm xuống LP không đơn giản. Ngoài ra, vấn đề của tôi có vẻ liên quan đến việc tìm ra quy định mỏng nhất giữa hai tập hợp điểm rõ ràng có thể được giải quyết bằng LP trong $O(n)$ trong không gian 2 chiều.

Tôi có một giải pháp có vẻ hơi phức tạp, nhưng sẽ hiệu quả hơn so với tìm kiếm vũ phu ngây thơ :$\mathcal O(n^2)$

1. hãy là trục giữa trung tâm của khối lượng của A và B .$v$$A$$B$
2. Sắp xếp các điểm theo và B dọc theo trục này theo thứ tự giảm dần và tăng dần, dẫn đến các chuỗi a 0 , a 1 , ..., a n và b 0 , b 1 , ..., b n .$A$$B$$a_0$$a_1$$a_n$$b_0$$b_1$$b_n$

Phần còn lại là mã giả để làm cho nó rõ ràng hơn:

d = infinity.
for j from 1 to n
    if (b_1 - a_j) along v > d then break endif
    for k from 1 to n
        if (b_k - a_j) along v > d then
            break
        else
            d = min( d , ||b_k - a_j|| )
        endif
    enddo
enddo

$v$$d$$b_k-a_j$$v$$\le \|b_k-a_j\|$

Trong trường hợp xấu hơn, đây vẫn là , nhưng nếu và tách biệt tốt, thì nó sẽ nhanh hơn thế nhiều, nhưng không tốt hơn , được yêu cầu để phân loại.$\mathcal O(n^2)$$A$$B$$\mathcal O(n\log n)$

Cập nhật

Giải pháp này là không có nghĩa là kéo ra khỏi một chiếc mũ. Đây là trường hợp đặc biệt của những gì tôi sử dụng trong mô phỏng hạt để tìm tất cả các cặp hạt tương tác với quá trình tạo không gian. Công việc của riêng tôi giải thích vấn đề chung hơn là ở đây .

Đối với đề xuất sử dụng thuật toán quét dòng đã sửa đổi, mặc dù đơn giản theo trực giác, tôi không tin rằng đây là trong khi các bộ tách rời được xem xét. Điều tương tự cũng xảy ra với thuật toán ngẫu nhiên của Rabin.$\mathcal O(n\log n)$

Dường như không có nhiều tài liệu liên quan đến vấn đề cặp gần nhất trong các tập hợp rời rạc, nhưng tôi đã tìm thấy điều này , điều này không khẳng định rằng nó nằm dưới , và điều này , dường như không để đưa ra bất kỳ tuyên bố về bất cứ điều gì.$\mathcal O(n^2)$

Thuật toán ở trên có thể được xem là một biến thể của quét mặt phẳng được đề xuất trong bài báo đầu tiên (Shan, Zhang và Salzberg), nhưng thay vì sử dụng -axis và không sắp xếp, trục giữa các bộ được sử dụng và các bộ được dịch chuyển theo thứ tự giảm dần / tăng dần.$x$

Bạn có thể điều chỉnh thuật toán quét dòng "cặp gần nhất" là .$O(n \log n)$

Thay đổi duy nhất bạn sẽ phải làm là bỏ qua các cặp thuộc cùng một bộ.

Chỉnh sửa: Điều này thực sự không đơn giản (hoặc thậm chí có thể) như tôi đã mô tả. Xem ý kiến ​​để thảo luận.

Ý tưởng trong các vấn đề như thế này là tạo ra một cấu trúc có trật tự từ một trong các bộ cho phép truy vấn hiệu quả của Hàng xóm gần nhất. Bài báo cổ điển trình bày cấu trúc truy vấn O (log n) cho kích thước tùy ý là:

Shamos và Hoey trên các giải pháp Voronoi

Một số phân vùng không gian khác dựa trên các ý tưởng từ các tàu của Delauney đã được tạo ra kể từ đó, và chúng cũng chuyển sang một loạt các mô tả quét không gian con. Lưu ý rằng phương pháp Voronoi cũng sẽ nằm trong mô tả phân chia và chinh phục chung do phân vùng mặt phẳng tạo ra bước xây dựng O (n log n).

Vì vậy, giải pháp cơ bản cho vấn đề này là:

1. Đặt A và xây dựng cấu trúc truy vấn Hàng xóm gần nhất hiệu quả mà bạn chọn. Bước xây dựng này là O (n log n) [xem định lý 4].
2. Đối với mỗi phần tử trong B, cấu trúc truy vấn A cho hàng xóm gần nhất. Mỗi truy vấn là O (log n) [xem định lý 15, thứ nguyên cố định], vì vậy tổng thời gian truy vấn cho tất cả các điểm trong B là O (n log n).
3. Khi kết quả cho điểm gần nhất trong A đến mỗi B được lấy ra, hãy đặt nó vào một cấu trúc được sắp xếp theo khoảng cách. Đây là O (log n) chèn từng kết quả hoặc O (n log n) cho tất cả.
4. Khi tất cả B đã được xem xét, bạn có thể nhanh chóng (O (1)) lấy điểm B trong cấu trúc được sắp xếp với khoảng cách lân cận nhỏ nhất đến một điểm trong A.

Như người ta có thể thấy khi nhìn vào độ phức tạp của từng bước, tổng độ phức tạp là O (n log n). Đối với người đọc hiện đại không nhìn vào các bài báo cổ điển, điều này được đề cập trong nhiều sách thuật toán, ví dụ "Hướng dẫn thiết kế thuật toán" của Skiena.

Tôi không chắc mình có đúng không, nhưng vấn đề này rất giống với các vấn đề có thể được giải quyết bằng lập trình tuyến tính trong hình học tính toán. Tuy nhiên, việc giảm xuống LP không đơn giản. Ngoài ra, vấn đề của tôi có vẻ liên quan đến việc tìm ra quy định mỏng nhất giữa hai bộ điểm rõ ràng có thể được giải quyết bằng LP trong không gian 2 chiều.

$O(n*\log{n})$

Chúng tôi sẽ giảm trường hợp của vấn đề phân biệt phần tử E thành C.

• $S = \{a_1, a_2, a_3,...,a_n\}$
• $\epsilon$
• $\{(a_i,0) : 1 \leq i \leq n\}$$B = \{(a_i + \epsilon) : 1 \leq i \leq n\}$
• $O(n)$
  • $S$$\epsilon$

$O(n*\log{n})$