Vấn đề tạm dừng là không thể giải quyết được, nhưng người ta có thể phản đối rằng đối với hầu hết các chương trình, thật dễ dàng để kiểm tra xem chúng có dừng lại hay không, bằng cách tìm kiếm bất kỳ vòng lặp vô hạn rõ ràng nào. Ngược lại, nếu bạn muốn đảm bảo rằng chương trình của bạn luôn kết thúc, bạn có thể làm như vậy bằng cách giới hạn số lần lặp lại cho mỗi vòng lặp. Ví dụ, hãy xem xét mã giả cho bình phương lặp lại:
def power(x, y, p):
"compute x^y mod p"
assert y >= 0
result = 1
while y > 0:
if x is odd: result = result * x (mod p)
y = y div 2
x = x * x
return result
Làm thế nào để chúng ta biết rằng thủ tục này luôn luôn chấm dứt? Một cách sẽ là một tiên nghiệm ràng buộc vòng lặp:
def power(x, y, p):
"compute x^y mod p"
assert y >= 0
bound = y
result = 1
loop bound times:
if x is odd: result = result * x (mod p)
y = y div 2
x = x * x
if y == 0: break
return result
Bây giờ rõ ràng chương trình này chấm dứt và nếu chúng tôi không mắc lỗi ở nơi khác, hai chương trình sẽ tạo ra cùng một đầu ra.
Các hàm đệ quy nguyên thủy là các hàm được tính toán bởi các chương trình trong đó tất cả các vòng lặp được giới hạn và không có đệ quy.
Mặc dù chúng tôi không cho phép đệ quy (vì nó không bị ràng buộc), chúng tôi có thể mô phỏng nó bằng một vòng lặp. Chúng tôi có thể hỏi một số câu hỏi bây giờ:
- Là mọi chức năng tính toán có thể trình bày trong hình thức này?
- Nếu không, mối quan hệ giữa lớp này và tất cả các hàm tính toán là gì?
Để trả lời 1, người ta có thể chỉ ra rằng các hàm tính toán nhất định phát triển "quá nhanh" không phải là đệ quy nguyên thủy, ví dụ như hàm Ackermann. Ngược lại, mọi chức năng có tốc độ tăng trưởng là "hợp lý" là đệ quy nguyên thủy. Và mọi hàm tính toán có thể được nêu ở dạng cho đệ quy nguyên thủy , trong đó chúng ta nghĩ về như một vị ngữ.f(x)=ψ(minyϕ(x,y))ϕ,ψϕ