Thuật toán tìm tất cả các định hướng theo chu kỳ của đồ thị

Tôi đang làm việc trên các định hướng theo chu kỳ của đồ thị vô hướng và có các câu hỏi sau:

Cho đồ thị đơn giản vô hướng được kết nối , làm thế nào để tìm tất cả các hướng xoay vòng có thể có của ? $G$ $G$
Số lượng định hướng theo chu kỳ là gì? Nó được biết đến (từ đây ) được cho một đồ thị với đỉnh nơi là đa thức màu đánh giá ở ; nhưng tôi đã không thành công trong việc tìm hiểu làm thế nào để đánh giá tại một giá trị âm ( ). $(-1)^p\ \chi(G,-\lambda)$ $G$ $p$ $\chi$ $-\lambda$ $\chi$ $-\lambda$

algorithms graph-theory counting

— seteropere
nguồn

Re 2,

chỉ là một đa thức. Nó có thể được đánh giá tại bất kỳ điểm phức tạp. Số lượng các định hướng mạch hở là

, nơi

là số đỉnh. Ví dụ: đa thức sắc độ của một tam giác là

, và do đó, số lượng định hướng theo chu kỳ là

χ (G, \cdot)

$\chi(G,\cdot)$

(- 1)^{p} χ (G, - 1)

$(-1)^p \chi(G,-1)$

p

$p$

t (t - 1) (t - 2)

$t(t-1)(t-2)$

(tất cả

hướng khác với

hướng tuần hoàn).

(- 1)^{3} (- 1) (- 2) (- 3) = 6

$(-1)^3(-1)(-2)(-3) = 6$

2^{3}

$2^3$

2

$2$

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus cảm ơn rất nhiều. do đó, một vấn đề của việc đánh giá đa thức tại

- λ

$-\lambda$

— seteropere

Như Yuval đã lưu ý, bạn có thể đếm số lượng định hướng theo chu kỳ bằng cách đánh giá đa thức sắc độ của đồ thị ở mức thống nhất âm. Để tính toán các đa thức sắc độ, có một số thuật toán hiệu quả được biết đến với một số lớp biểu đồ .

$O(n)$

[1] Squire, MB (1998). Tạo các định hướng theo chu kỳ của đồ thị. Tạp chí thuật toán, 26 (2), 275-290.

— Juho
nguồn