Mối quan hệ giữa mở rộng đồ thị và độ dẫn

Tôi khá bối rối về mối quan hệ chính xác giữa việc mở rộng đồ thị và độ dẫn của nó. Câu hỏi đầu tiên của tôi là:

• Ai đó có thể chỉ cho tôi một tài liệu tham khảo thảo luận về cả hai khái niệm này? (Tôi đã tìm thấy các ghi chú bài giảng khác nhau về các chủ đề liên quan nhưng chúng dường như tập trung vào mở rộng hoặc dẫn điện ...)

Tôi đã đọc được rằng sự mở rộng của là thước đo tốc độ pha trộn của một bước đi ngẫu nhiên trên , tức là thời gian để tiến gần đến phân phối tĩnh. Đối với một graph -regular với sự mở rộng liên tục, ví dụ, thời gian trộn là . Điều tương tự cũng có vẻ đúng đối với độ dẫn , nghĩa là, nếu không đổi, thì bước đi ngẫu nhiên trên cũng sẽ trộn lẫn trong thời gian . Hơn nữa, tài sản của dẫn này nắm giữ ngay cả trong đồ thị không thường xuyên, và, cho đồ thị -regular sự bành trướng của có thể được tìm thấy bằng cách đơn giản chia độ dẫn của$G$$G$$d$$\Theta(\log n)$$\Phi(G)$$\Phi(G)$$G$$\Theta(\log n)$$d$$G$$G$bởi . Điều này đặt ra câu hỏi sau:$d$

• Tại sao chúng ta nên xem xét việc mở rộng đồ thị , khi độ dẫn dường như là một biện pháp mạnh hơn (điều đó bao gồm sự mở rộng)?$G$

Có một số định nghĩa khác nhau cho việc mở rộng biểu đồ, nhưng tất cả chúng đều là không gian. Một định nghĩa phổ biến đã định nghĩa sự mở rộng của đồ thị là trong đó là một tập hợp các đỉnh chứa tối đa một nửa các đỉnh và là ranh giới (cạnh) của , số cạnh kết nối với . Đối với một biểu đồ kết nối -regular, có một kết nối chặt chẽ giữa và một tham số quang phổ, các khoảng cách eigenvalue$h(G)$$G$

$$h(G) = \min_{|S| \leq |G|/2} \frac{|\partial S|}{|S|},$$ $S$$\partial S$$S$$S$$\overline{S}$$d$$h(G)$ $\lambda(G)$, đó là giá trị riêng không nhỏ nhất của Laplacian. Đối với một -regular đồ thị liên thông, bất bình đẳng Cheeger của tiểu bang mà Điều này thường được đặt theo thuật ngữ eigenvalue lớn thứ hai của ma trận kề của , thỏa mãn . Phải có các phiên bản bất bình đẳng của Cheeger cho các biểu đồ không thông thường và tôi sẽ cho phép bạn tìm kiếm chúng.$d$ $$\frac{\lambda(G)}{2} \leq h(G) \leq \sqrt{2d\lambda(G)}.$$ $\lambda_2(G)$$G$$\lambda_2(G) = d - \lambda(G)$

Rất nhiều thông tin về đồ thị giãn nở có thể được tìm thấy trong khảo sát (dựa trên ghi chú khóa học) Đồ thị mở rộng và các ứng dụng của Hoori, Linial và Wigderson. Các thông tin khác nằm rải rác trong các bài giảng và thậm chí các bài báo gần đây.