Thuật toán để khớp số với số lần di chuyển tối thiểu

Đây là một loại câu hỏi khoảng cách chỉnh sửa, và rất dễ dàng. Tôi khá là chết não về chủ đề này và không thể tìm ra nó cho đến nay.

---

Cho một loạt các số, ví dụ

[3, 1, 1, 1]

Làm thế nào một cách hiệu quả nhất có thể biến tất cả các số thành cùng một số, với số lần "di chuyển" tối thiểu? Bằng cách "di chuyển" có nghĩa là thêm hoặc xóa một từ một số.

Trong ví dụ trên, các động thái hiệu quả nhất sẽ là:

[1, 1, 1, 1]

Điều này sẽ cần 2 lần di chuyển, giảm số thứ nhất hai lần.

Tôi không thể tìm ra cách tốt nhất để tìm ra điều này, với các mảng lớn hơn hàng trăm số.

Ban đầu tôi đã thử tính số trung bình làm tròn (tổng của tất cả chia cho chiều dài), sau đó giảm chúng xuống mức trung bình được tính, nhưng ví dụ trên đã phá vỡ điều này, yêu cầu 4 di chuyển thay vì 2.

Tôi cho rằng tôi có thể hình:

1. Trung bình,
2. Chế độ,
3. Trung vị

và lấy khoảng cách chỉnh sửa của từng cái, chọn khoảng cách tối thiểu. Tuy nhiên, tôi không chắc chắn rằng điều này sẽ đúng trong mọi trường hợp. Làm sao tôi biết được?

Câu trả lời là lấy trung vị. Một trong những tính chất của trung vị là nó thu nhỏ khoảng cách L1 đến từng phần tử. (Để hiểu ý nghĩa của bài viết Wikipedia, hãy lấy phân phối xác suất làm phân phối thống nhất trên chuỗi số ban đầu của bạn).

Đây là thuật toán giải quyết vấn đề (ban đầu được viết bởi dc2 ):

function median(arr) {
  arr.sort(function(a, b) { return a - b; });
  var half = floor(arr.length/2);
  if ( arr.length % 2 ) {
    return arr[half];
  } else {
    return (arr[half-1] + arr[half]) / 2.0;
  }
}

function minl1(arr) {
  var moves = 0;
  var mdn = median(arr);
  for ( var i = 0; i < arr.length; ++i ) {
    moves += Math.abs(mdn - arr[i]);
  }
  return moves;
}

minl1([3, 1, 1, 1]); // -> 2

Như TCSGrad đã đề cập, đưa ra một danh sách các số nguyên , bạn đang tìm số nguyên thu nhỏ Hướng dẫn tính toán : Khi đi từ đến , đại lượng đi từ đến . Hơn nữa, nó chỉ chuyển đổi giá trị tại các điểm$x_1,\ldots,x_n$$m$

$$\delta(m) = \sum_{i=1}^n |m - x_i|.$$ $\delta(m+1) - \delta(m)$ $$\delta(m+1) - \delta(m) = \sum_{i=1}^n \begin{cases} +1 & m \geq x_i \\ -1 & m < x_i \end{cases} = \#\{i : m \geq x_i\} - \#\{i : m < x_i\}.$$ $m$$-\infty$$+\infty$$\delta(m+1) - \delta(m)$$-n$$n$$x_1,\ldots,x_n$. Không khó để kiểm tra xem giá trị tối ưu của là điểm tối thiểu tại đó . Điểm tối thiểu này là một trong , vì vậy khoảng cách chỉnh sửa là .$m$$\delta(m+1) - \delta(m) \geq 0$$x_i$$\min(\delta(x_1),\ldots,\delta(x_n))$

Giả sử thêm rằng tất cả là khác biệt và là số lẻ. Gọi là trung tuyến của . Khi đó while , và do đó là tối ưu duy nhất. Nếu chẵn thì một phép tính tương tự cho thấy chúng ta có thể chọn bất kỳ điểm nào trong khoảng thời gian kết nối các trung vị. Lý luận tương tự nhưng phức tạp hơn cho thấy rằng bất kỳ trung vị nào là tối ưu ngay cả khi không khác biệt. Vì vậy, thực sự không cần tính toán trên tất cả .$x_i$$n$$m$$x_i$$\delta(m+1) - \delta(m) = 1$$\delta(m) - \delta(m-1) = -1$$m$$n$$x_i$$\delta$$x_i$

Vấn đề có thể được coi là một vấn đề LP:

Cho một tập hợp số , giải LP sau:$n$$[a_1,a_2... a_n]$

$$\min \sum |a_i - x|$$

(Đã xóa các ràng buộc trên , điều không cần thiết như Raphael đã chỉ ra)$x$

Khi LP được giải quyết, bạn sẽ nhận được giá trị tương ứng với giải pháp. Nếu là một số nguyên, bạn đã hoàn tất - khác, làm tròn nó đến số nguyên gần nhất.$x$$x$

EDIT : Như đã chỉ ra trong các ý kiến, hàm mục tiêu nên được tổng hợp trên sự khác biệt tuyệt đối. Để chuyển đổi nó trở lại thành LP tiêu chuẩn, chúng ta có thể viết lại LP dưới dạng:

$$\min \sum a'_i$$

chủ đề:

$$a'_i \geq a_i - x\ \forall i$$ $$a'_i \leq a_i - x\ \forall i$$ $$a'_i, x' \geq 0\ \forall i$$

Ở giải pháp tối ưu, và chúng ta có thể nhận giá trị của từ giải pháp.$a_i' = | a_i - x|\ \forall i$$x$