Là sự đảo ngược của một DFA tối thiểu cũng tối thiểu?

Câu hỏi là khá nhiều trong tiêu đề. Có khi nào một ngôn ngữ có thể được chấp nhận bởi một DFA tối thiểu với n trạng thái, nhưng L R , sự đảo ngược của L , có thể được chấp nhận bởi một DFA với m trạng thái, trong đó m < n ?$L$$n$$L^R$$L$$m$$m<n$

DFA tối thiểu chấp nhận sự đảo ngược của ngôn ngữ có thể nhỏ hơn. Xét ngôn ngữ hữu hạn Các từ ϵ , 0 , 1 , 2 , 00 , 01 , 02 , 11 , 12 , 22 , 000 ,

$$L = (0+1)^22+(0+2)^21+(1+2)^20.$$ $\epsilon,0,1,2,00,01,02,11,12,22,000,001$là không tương đương, do đó, bất kỳ DFA nào cho yêu cầu ít nhất 12 trạng thái; trong thực tế, có một DFA với chính xác 12 tiểu bang. Ngôn ngữ ngược L R = 2 ( 0 + 1 ) 2 + 1 ( 0 + 2 ) 2 + 0 ( 1 + 2 ) 2 được DFA chấp nhận chỉ với 9 trạng thái: trạng thái ban đầu, trạng thái tương ứng với 0 , 1 ban đầu , 2 , trạng thái tương ứng với 0 ban đầu ( 1 + 2 ) $L$ $$L^R = 2(0+1)^2 + 1(0+2)^2 + 0(1+2)^2$$ $0,1,2$ , trạng thái chấp nhận và trạng thái không thành công; đây cũng là tối ưu DFA, vì ε , 0 , 1 , 2 , 01 , 12 , 20 , 011 , 000 là inequivalent.$0(1+2),1(0+2),2(0+1)$$\epsilon,0,1,2,01,12,20,011,000$

Tóm lại, các DFA tối thiểu cho đòi hỏi 12 quốc gia, trong khi một cho L R đòi hỏi chỉ có 9 tiểu bang.$L$$L^R$

$L$$L^R$