Số lượng ngôn ngữ thông thường khác nhau

Với một bảng chữ cái $\Sigma = \{ a,b \}$ , có bao nhiêu khác nhau thường xuyên ngôn ngữ đang có có thể được chấp nhận bởi một -state automaton hữu hạn không xác định? $n$

Ví dụ, chúng ta hãy xem xét . Sau đó, chúng tôi có cấu hình chuyển tiếp khác nhau và cấu hình trạng thái bắt đầu và kết thúc khác nhau, vì vậy chúng tôi có giới hạn trên của ngôn ngữ khác nhau. Tuy nhiên, nhiều trong số này sẽ tương đương và vì thử nghiệm cho điều đó là PSPACE-Complete, có lẽ không thể kiểm tra từng cài đặt. Có các phương tiện hoặc đối số kết hợp khác ràng buộc số lượng ngôn ngữ khác nhau được chấp nhận bởi một tài nguyên nhất định không? $n=3$ $2^{18}$ $2^3$ $2^{24}$

— john_leo
nguồn

Chỉ có 3 cấu hình trạng thái bắt đầu khác nhau, không phải

2^{3}

$2^3$ .

— FrankW

Ý tưởng nhanh: các ngôn ngữ thông thường được đặc trưng bởi nhiều lớp tương đương, cf Myhill-Nerode. Có bao nhiêu bộ lớp tương đương khác nhau có thể hỗ trợ automaton

n

$n$ -state?

— Raphael

Nó có thể hữu ích để google cho bài báo "Về số lượng ngôn ngữ riêng biệt được chấp nhận bởi automata hữu hạn với n trạng thái" của Domaratzki, Kisman và Shallit.

— Hendrik

đây là url citeseer giấy

— vzn

tìm thấy gần như cùng một câu hỏi trên tcs.se: Số lượng ngôn ngữ được chấp nhận bởi một DFA có kích thước n là bao nhiêu?

— vzn

Đây là bản tóm tắt của bài viết về Số lượng ngôn ngữ riêng biệt được chấp nhận bởi Finite Automata với n States . Bài viết cung cấp tương đối dễ dàng, nhưng xa các giới hạn chặt chẽ, thấp hơn và cao hơn về số lượng ngôn ngữ riêng biệt được NFA chấp nhận. Thảo luận của họ về số lượng DFA khác biệt là rất sâu sắc, vì vậy tôi cũng sẽ bao gồm phần đó.

Bài viết bắt đầu với một tiệm cận khá nghiêm ngặt đối với số lượng ngôn ngữ riêng biệt được chấp nhận bởi một DFA với trạng thái trên một bảng chữ cái đơn nhất. Này được thực hiện bằng cách quan sát dưới những điều kiện nào một cho -state unary DFA là tối thiểu. Trong những trường hợp như vậy, việc mô tả máy tự động có thể được ánh xạ (về mặt sinh học) thành một từ nguyên thủy , và việc liệt kê các từ đó được biết đến và được thực hiện với sự trợ giúp của hàm Möbius . Sử dụng kết quả đó, giới hạn cho các bảng chữ cái không đơn nhất, cả trong DFA và trong trường hợp NFA, đều được chứng minh. $n$ $n$

Chúng ta hãy đi vào chi tiết hơn. Đối với bảng chữ cái -letter, xác định $k$ Lưu ý rằng. Chúng tôi bắt đầu vớivà.

\begin{aligned} f_{k} (n) & = = số lượng DFA tối thiểu không đồng phân cặp với n Những trạng thái \\ g_{k} (n) & = = số lượng ngôn ngữ riêng biệt được DFA chấp nhận với n Những trạng thái \\ G_{k} (n) & = = số lượng ngôn ngữ riêng biệt được NFA chấp nhận với n Những trạng thái \end{aligned}

$\begin{align*} f_k(n) &= \text{the number of pairwise non-isomorphic minimal DFA's with } n \text{ states}\\ g_k(n) &= \text{the number of distinct languages accepted by DFA's with } n \text{ states}\\ G_k(n) &= \text{the number of distinct languages accepted by NFA's with } n \text{ states} \end{align*}$

g_{k} (n) = \sum_{i = 1}^{n} f_{k} (i)

$g_k(n) = \sum_{i=1}^n f_k(i)$

f_{1} (k)

$f_1(k)$

g_{1} (k)

$g_1(k)$

Bảng liệt kê của DFA

Một unary DFA với trạng thái là tối thiểu khi và chỉ khi $M = (Q, \{a\},\delta, q_0,F)$ $q_0,\dots, q_{n-1}$

Nó được kết nối. Do đó, sau khi đổi tên, sơ đồ chuyển tiếp bao gồm một vòng lặp và đuôi, tức là và cho một số . $\delta(q_i,a) = q_{i+1}$ $\delta(q_{n-1},a)=q_j$ $j \leq n-1$
Các vòng lặp là tối thiểu.
Nếu , sau đó, hoặc và hoặc và . $j \neq 0$ $q_{j-1} \in F$ $q_{n-1} \notin F$ $q_{j-1} \notin F$ $q_{n-1} \in F$

Vòng lặp là tối thiểu khi và chỉ khi từ được xác định bởi $q_j,\dots, q_{n-1}$ $a_j \cdots a_{n-1}$ lànguyên thủy, có nghĩa là nó không thể được viết dưới dạng đối với một số chữvà một số nguyên. Sốcủa các từ nguyên thủy có độ dàitrênbảng chữ cáiđược biết, xem ví dụ: Lothaire,Combinatorics on Words. Chúng tôi có

{một}_{Tôi} = = {\begin{cases} 1 nếu q \in F, \\ 0 nếu q \notin F \end{cases}

$\begin{equation*} a_i = \begin{cases} 1 \quad \text{if } q \in F, \\ 0 \quad \text{if } q \notin F \end{cases} \end{equation*}$

x^{k}

$x^k$

x

$x$

k \geq 2

$k \ge 2$

ψ_{k} (n)

$\psi_k(n)$

n

$n$

k

$k$

trong đó

làhàm Mobius. Với sự giúp đỡ của

, bài báo đã chứng minh các công thức chính xác cho

và

và cho thấy rằng không có triệu chứng (Định lý 5 và Hệ quả 6),

ψ_{k} (n) = \sum_{d | n} μ (d) k^{n / d}

$\begin{equation*} \psi_k(n) = \sum_{d | n} \mu(d) k^{n/d} \end{equation*}$

μ (n)

$\mu(n)$

ψ_{k} (n)

$\psi_k(n)$

f_{1} (n)

$f_1(n)$

g_{1} (n)

$g_1(n)$

\begin{aligned} g_{1} (n) & = 2^{n} (n - α + O (n 2^{- n / 2})) \\ f_{1} (n) & = 2^{n - 1} (n + 1 - α + O (n 2^{- n / 2})) . \end{aligned}

$\begin{align*} g_1(n) &= 2^n \left(n-\alpha+O \left(n 2^{-n/2} \right)\right) \\ f_1(n) &= 2^{n-1}\left(n+1-\alpha+O \left(n 2^{-n/2} \right)\right). \end{align*}$

Bảng liệt kê của DFA

Bước tiếp theo là giới hạn dưới cho . Định lý 7 tiểu bang mà Đối với một bộ của một automaton , xác định như những hạn chế của để $f_k(n)$

f_{k} (n) \geq f_{1} (n) n^{(k - 1) n} \sim n 2^{n - 1} n^{(k - 1) n} .

$\begin{equation*} f_k(n) \ge f_1(n) n^{ (k-1)n} \sim n 2^{n-1}n^{(k-1)n}. \end{equation*}$

Δ \subset Σ

$\Delta \subset \Sigma$

M

$M$

M_{Δ}

$M_{\Delta}$

M

$M$

Δ

$\Delta$ .
Các công trình bằng chứng bằng cách xem xét các thiết lập

của DFA của

qua

-letter bảng chữ cái

xác định bởi

S_{k, n}

$S_{k,n}$

M

$M$

k

$k$

{0, 1, \dots, k - 1}

$\{0,1,\dots,k-1 \}$

Để là một trong những DFA đơn nhất khác nhau của trên trạng thái và $M_{ \{0 \}}$ $f_1(n)$ $n$
Chọn bất kỳ chức năng cho và xác định cho và . $k-1$ $h_i : Q \to Q$ $1 \le i < k$ $\delta(q,i) = h_i(q)$ $1 \le i < k$ $q \in Q$

Quan sát sau đó là chứa ngôn ngữ khác nhau và tối thiểu. $S_{n,k}$ $f_1(n) n^{ (k-1)n}$

Bảng liệt kê của NFA

$G_1(n)$ $2^n$ $\epsilon, a,\dots, a^{n-1}$ $n$
$G_1(n) \le \left( \frac{c_1 n}{\log n}\right)^n$
$k \ge 2$

n 2^{(k - 1) n^{2}} \leq G_{k} (n) \leq (2 n - 1) 2^{k n^{2}} + 1.

$\begin{equation*} n 2^{(k-1)n^2} \le G_k(n) \le (2n-1) 2^{kn^2} +1. \end{equation*}$

(q, a)

$(q,a)$

Q

$Q$

δ (q, a)

$\delta(q,a)$

2^{k n^{2}}

$2^{kn^2}$

{1, \dots, k}

$\{1,\dots,k\}$

k \in [0.. n - 1]

$k \in [0..n-1]$

M = (Q, Σ, δ, q_{0}, F)

$M=(Q,\Sigma,\delta,q_0, F)$

Σ = {0, 1, \dots, k - 1}

$\Sigma = \{ 0,1,\dots,k-1 \}$

Q = {q_{0}, \dots, q_{n - 1}}

$Q=\{ q_0,\dots, q_{n-1} \}$

δ

$\delta$

\begin{aligned} δ (q_{i}, 0) & = q_{(i + 1) \mod n} for 0 \leq i < n \\ δ (q_{i}, j) & = h_{j} (i) for 0 \leq i < n, 1 \leq j < k \end{aligned}

$\begin{align*} \delta(q_i,0) &=q_{(i+1) \mod n} \quad \text{for } 0 \le i <n \\ \delta(q_i,j) &=h_j(i) \quad \text{for } 0 \le i <n,\, 1 \le j < k \end{align*}$

h_{j} : {1, \dots, n - 1} \to 2^{Q}

$h_j: \{ 1,\dots,n-1\} \to 2^Q$

F = {q_{i}}

$F=\{q_i\}$

i \in [0.. n - 1]

$i \in [0..n-1]$

2^{(k - 1) n^{2}}

$2^{(k-1)n^2}$

n

$n$ cách để chọn tập hợp các trạng thái cuối cùng. Sau đó, người ta có thể chỉ ra rằng không có hai NFA như vậy chấp nhận cùng một ngôn ngữ.

— john_leo
nguồn