Vấn đề thứ 10 của Hilbert và phương trình Diophantine của Chaitin Máy tính?

Trong Meta Math của Chaitin ! The Quest For Omega , anh nói ngắn gọn về vấn đề thứ 10 của Hilbert. Sau đó, ông nói rằng bất kỳ phương trình Diophantine có thể được thay đổi thành hai đa thức bằng nhau với các hệ số nguyên dương: .$p=0$$p=0 \iff p_1 = p_2$

Sau đó, ông nói rằng chúng ta có thể nghĩ về các phương trình này giống như một "máy tính":

Máy tính phương trình diophantine : Chương trình: , Đầu ra: , Thời gian:

$$L(k,n,x,y,z,...)=R(k,n,x,y,z,...)$$ $k$ $n$ $x,y,z,...$

Với bên trái , ngay bên . Ông nói là chương trình của máy tính này, đầu ra . Ông cũng nói rằng những ẩn số là một biến thời gian đa chiều .R k $L$$R$$k$$n$

Điều khiến tôi bối rối là sau đó anh ta nói rằng Vấn đề thứ 10 của Hilbert rõ ràng là không thể giải quyết được khi nhìn theo cách này. Về cơ bản, ông nói "vì vấn đề dừng của Turing". Nhưng tôi không thấy kết nối (Tôi mới bắt đầu học lý thuyết). Tôi đã hy vọng ai đó có thể giải thích rõ hơn quan điểm của Chaitin ở đây.

Tôi biết rằng vấn đề tạm dừng của Turing về cơ bản nói rằng bạn không thể dự đoán khi nào chương trình sẽ tạm dừng trước khi chương trình thực sự tạm dừng (trong một khoảng thời gian hữu hạn). Ứng dụng cho Vấn đề thứ 10 của Hilbert, sử dụng ký hiệu do Chaitin đưa ra là gì?

Câu hỏi hay. Có vẻ như bạn có thể cần một số nền tảng bổ sung về Vấn đề thứ 10 của Hilbert. Tôi hy vọng điều này không quá mức cần thiết.

Vấn đề hỏi:

Có một thuật toán, được đưa ra một đa thức Diophantine, quyết định có hay không có một thiết lập các biến của nó làm cho nó bằng ?$0$

Điều này đã được giải quyết vào những năm 70 do hậu quả của MRDP (còn được gọi là định lý Matiyasevich, nếu bạn cảm thấy muốn tìm kiếm nó), trong đó nêu rõ:

Xác định: Một tập hợp$D \subset \mathbb{N}$ là Diophantine nếu có một đa thức Diophantine trên các đầu vào k + 1 sao cho D = { $p$$k+1$ .$D = \{ x \, | \, \exists y \in \mathbb{R}_+^k \, p(x, y) = 0\}$

Các bộ Diophantine chính xác là những bộ có thể nhận biết được bằng máy Turing.

$x$$y \in \mathbb{R}_+^k$$p(x, y)$$p(x, y) = 0$

Dù sao, định lý MRDP giải quyết vấn đề thứ 10 của Hilbert như thế nào? Tốt...

$p(y)$$y$$p(y) = 0$

$M$$x$$p(y | x)$$0$

$p(y) = 0$