Phân tích một phiên bản sửa đổi của trò chơi thẻ bài War War

Một trò chơi đơn giản thường được chơi bởi trẻ em, trò chơi Chiến tranh được hai người chơi bằng cách sử dụng bộ bài tiêu chuẩn gồm 52 lá bài. Ban đầu, bộ bài được xáo trộn và tất cả các lá bài được chia cho hai người chơi, để mỗi người có 26 lá bài ngẫu nhiên theo thứ tự ngẫu nhiên. Chúng tôi sẽ cho rằng người chơi được phép kiểm tra (nhưng không thay đổi) cả hai sàn, để mỗi người chơi biết thẻ và thứ tự thẻ trong cả hai sàn. Đây thường là ghi chú được thực hiện trong thực tế, nhưng sẽ không thay đổi bất cứ điều gì về cách chơi trò chơi và giúp giữ cho phiên bản câu hỏi này hoàn toàn mang tính quyết định.

Sau đó, người chơi tiết lộ các thẻ bài hàng đầu từ các bộ bài tương ứng của họ. Người chơi tiết lộ thẻ lớn hơn (theo thứ tự thông thường: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Jack, Queen, King, Ace) giành chiến thắng, đặt thẻ đầu tiên của mình ( thẻ cao) ở cuối cỗ bài của anh ta, và sau đó là thẻ của đối thủ (thẻ thấp) ở cuối cỗ bài (thông thường, thứ tự này không được thi hành, nhưng để giữ cho phiên bản đầu tiên của câu hỏi này mang tính quyết định, chẳng hạn một đơn đặt hàng sẽ được thực thi).

Trong trường hợp hòa, mỗi người chơi tiết lộ bốn thẻ bổ sung từ đầu các cỗ bài của họ. Nếu thẻ thứ tư được hiển thị bởi một người chơi cao hơn thẻ thứ tư được hiển thị bởi một người chơi khác, thì người chơi có thẻ thứ tư cao hơn sẽ thắng tất cả các thẻ được chơi trong thời gian phá vỡ, trong trường hợp đó, thẻ của người chiến thắng được đặt đầu tiên ở dưới cùng của cỗ bài của người chiến thắng (theo thứ tự nhập trước xuất trước; nói cách khác, các thẻ cũ hơn được đặt ở dưới cùng trước), tiếp theo là các thẻ thua (theo thứ tự tương tự).

Trong trường hợp các mối quan hệ tiếp theo, quá trình được lặp lại cho đến khi một người chiến thắng của cà vạt được xác định. Nếu một người chơi hết thẻ và không thể tiếp tục phá vỡ cà vạt, người chơi vẫn còn thẻ được tuyên bố là người chiến thắng. Nếu cả hai người chơi hết thẻ để chơi cùng một lúc, trò chơi được tuyên bố hòa.

Các vòng được chơi cho đến khi một người chơi hết thẻ (nghĩa là không còn thẻ nào trong bộ bài của mình), tại thời điểm đó, người chơi vẫn còn thẻ được tuyên bố là người chiến thắng.

Như trò chơi đã được mô tả cho đến nay, cả kỹ năng và may mắn đều không liên quan đến việc xác định kết quả. Vì có số lượng hoán vị hữu hạn là 52 thẻ, nên có một số cách hữu hạn mà các cỗ bài có thể được xử lý ban đầu, và theo đó (vì thông tin trạng thái duy nhất trong trò chơi là trạng thái hiện tại của cả hai cỗ bài ) kết quả của mỗi cấu hình trò chơi có thể được quyết định trước. Chắc chắn, có thể chiến thắng trò chơi Chiến tranh, và bằng chính mã thông báo đó, để đánh mất nó. Chúng tôi cũng bỏ ngỏ khả năng một trò chơi Chiến tranh có thể dẫn đến Tie hoặc trong một vòng lặp vô hạn; đối với phiên bản hoàn toàn xác định được mô tả ở trên, như vậy có thể hoặc không thể là trường hợp.

Một số biến thể của trò chơi cố gắng làm cho nó thú vị hơn (và không, không phải tất cả đều liên quan đến việc biến nó thành một trò chơi uống rượu). Một cách mà tôi đã nghĩ ra để làm cho trò chơi trở nên thú vị hơn là cho phép người chơi tuyên bố "trumps" tự động ở một số vòng nhất định. Ở mỗi vòng, một trong hai người chơi (hoặc cả hai người chơi) có thể tuyên bố "át chủ bài". Nếu một người chơi tuyên bố "át chủ bài", người chơi đó sẽ thắng vòng đấu bất kể thẻ được chơi. Nếu cả hai người chơi tuyên bố "át chủ bài", thì vòng đấu được coi là hòa và chơi tiếp tục.

Người ta có thể tưởng tượng ra một loạt các quy tắc giới hạn khả năng thổi kèn của người chơi (việc ném không giới hạn sẽ luôn dẫn đến một trò chơi Tie, vì người chơi sẽ chơi khăm mỗi lượt). Tôi đề xuất hai phiên bản (ngay trên đỉnh đầu của tôi; các phiên bản thú vị hơn dọc theo những dòng này có thể có thể) của War dựa trên ý tưởng này nhưng sử dụng các cơ chế hạn chế át chủ bài khác nhau:

1. $k$
2. $k$

Bây giờ cho các câu hỏi, áp dụng cho từng phiên bản được mô tả ở trên:

1. Có một chiến lược nào đó, đối với một số cấu hình trò chơi ban đầu có thể, người chơi sử dụng nó luôn luôn chiến thắng (chiến lược chiến thắng mạnh mẽ)? Nếu vậy, chiến lược này là gì? Nếu không, tai sao không?
2. Có một chiến lược nào đó, đối với một số cấu hình trò chơi ban đầu có thể có, người chơi sử dụng nó luôn có thể giành chiến thắng hoặc buộc hòa (chiến lược chiến thắng)? Nếu vậy, chiến lược này là gì? Nếu không, tai sao không?
3. $S$$S'$

Để rõ ràng, tôi đang nghĩ về một "chiến lược" là một thuật toán cố định xác định xem người chơi sử dụng chiến lược nào sẽ làm tròn. Chẳng hạn, thuật toán "át bất cứ khi nào bạn có thể" là một chiến lược và một thuật toán (một thuật toán heuristic). Một cách khác về những gì tôi đang hỏi là:

Có bất kỳ heuristic tốt (hoặc có thể chứng minh tối ưu) để chơi các trò chơi này?

$k$$k=0$

Nếu tôi hiểu chính xác, tất cả thông tin về trò chơi có sẵn cho cả hai người chơi. Đó là, cấu hình bắt đầu và tất cả các động thái có thể được cả hai người chơi biết (chủ yếu là vì cả hai người chơi có thể nhìn vào thẻ của người chơi khác). Điều này làm cho trò chơi là một trò chơi tổng bằng không với thông tin hoàn hảo. Do đó, tồn tại một chiến lược hoàn hảo dành cho cả hai người chơi sẽ đạt được kết quả tốt nhất trong mỗi trò chơi cho người chơi đó. Điều này đã được chứng minh vào năm 1912 bởi nhà toán học người Đức Ernst Zermelo.

Tôi không biết chiến lược này là gì, nhưng người ta có thể tưởng tượng việc xây dựng một cây trò chơi lớn cho nó và lấy một máy tính để tìm chiến lược cho tôi bằng thuật toán tối thiểu .

Cây cho mỗi trò chơi sẽ có gốc rễ của hai người chơi. Các nhánh trong cây tương ứng với các động tác của người chơi. Trong trường hợp đơn giản nhất, chúng chỉ đơn giản là đặt các thẻ cần thiết. Trong các trường hợp nâng cao hơn, động thái 'át chủ bài' có thể được thực hiện. Các nút bên trong của cây ghi lại cấu hình hiện tại của thẻ cùng với bất kỳ thông tin nào về trạng thái 'vấp ngã'. Các lá của cây tương ứng với các vị trí kết thúc trò chơi, sẽ được gắn nhãn, giả sử, +1 cho một chiến thắng cho Người chơi 1, 0 cho một trận hòa và -1 cho một chiến thắng cho Người chơi 2. Bỏ qua các trò chơi lặp.

Bây giờ thuật toán tối thiểu sẽ hoạt động như sau (theo quan điểm của Người chơi 1). Giả sử rằng nó nhìn vào một nút trong đó Người chơi 1 thực hiện di chuyển và các nút bên dưới được chú thích bằng +1, 0 hoặc -1 (mức chi trả) cùng với các lựa chọn mà người chơi cần thực hiện để có được kết quả nhất định. Người chơi 1 chỉ cần chọn nút có tỷ lệ hoàn trả lớn nhất, ghi lại mức chi trả đó và lựa chọn cần thiết để có được điều đó. Đối với nút mà Người chơi 2 đang thực hiện di chuyển, nút có mức chi trả tối thiểu được chọn và lựa chọn được ghi lại. Điều này phản ánh rằng Người chơi 2 đang nhắm đến số điểm thấp nhất để giành chiến thắng. Điều này được nhân giống đến cây. Các lựa chọn được ghi lại ở mỗi nút tương ứng với chiến lược tốt nhất mà người chơi có thể thực hiện. Phần thưởng cuối cùng quyết định ai thắng. Đây cuối cùng là một chức năng về mặt chi trả, mặc dù sự lựa chọn chính xác của các động thái có thể khác nhau.

Các cấu hình vòng lặp tiềm năng có thể được tích hợp vào cây trò chơi bằng cách thêm các vòng lặp trở lại cấu hình đã thấy (khi tính toán từ đầu). Đối với các nút như vậy, bạn lấy điểm cố định lớn nhất nếu đó là nút nơi Người chơi 1 chơi và điểm cố định ít nhất khi Người chơi 2 chơi.

Lưu ý rằng nếu bạn không đưa ra giả định rằng cả hai người chơi có thể kiểm tra cả hai sàn, thì phương pháp này sẽ không được áp dụng. Trò chơi sau đó sẽ liên quan đến cơ hội và chiến lược được chọn sẽ là trò chơi cụ thể.

Việc có một chiến lược chiến thắng mạnh hay yếu cho một trong những người chơi hay không phụ thuộc vào kết quả của thuật toán tối thiểu được áp dụng cho tất cả các cây. Nhưng chắc chắn có rất nhiều trong số chúng .... Tính toán cây cho một người có lẽ khá dễ dàng, vì không có nhiều lựa chọn được thực hiện thông qua trò chơi.