CLRS - Bổ đề tăng cường dòng chảy tối đa 26.1 - không hiểu sử dụng def. Bằng chứng

Trong Cormen et. al., Giới thiệu về thuật toán (. 3rd ed), tôi không nhận được một dòng trong chứng minh Bổ đề 26.1 trong đó nêu rằng dòng chảy Augmented $f\uparrow f'$ là một dòng chảy trong $G$ và là st $|f\uparrow f'| =|f|+|f'|$(đây là trang 717-718).

Sự nhầm lẫn của tôi: Khi tranh luận về bảo tồn dòng chảy, họ sử dụng định nghĩa của trong dòng đầu tiên để nói rằng với mỗi u ∈ V ∖ { s , t $f\uparrow f'$$u\in V\setminus\{s,t\}$

$$\sum_{v\in V} (f\uparrow f')(u,v) = \sum_{v\in V} (f(u,v)+f'(u,v) - f'(v,u)),$$

trong đó đường dẫn tăng được định nghĩa là

$$(f\uparrow f')(u,v) = \begin{cases} f(u,v)+f'(u,v) - f'(v,u) & \text{if $(u,v)\in E$}, \\ 0 & \text{otherwise}. \end{cases}$$

Tại sao họ có thể bỏ qua mệnh đề 'khác' trong tổng kết? Tôi không nghĩ mệnh đề đầu tiên ước tính bằng 0 trong tất cả các trường hợp như vậy. Họ sử dụng dòng chảy-bảo tồn của và f $f$$f'$ theo một cách nào đó không?

Lưu ý: Các ký hiệu và định nghĩa được sử dụng dưới đây được mượn từ phiên bản thứ ba của cuốn sách.

Để trả lời câu hỏi này, trước hết, hãy quan sát rằng nếu , sau đó theo định nghĩa dòng chảy,$(u,v) \notin E$

$$f(u,v) = f'(u,v) = (f \uparrow f')(u,v) = 0 \, .$$

Hơn nữa, kể từ khi , nó thu được rằng f ' ( v , u ) = 0 . Điều này đơn giản có nghĩa là ∀ ( u , v ) ∉ E ,$f'(v,u) \le c_f(u,v) = f(u,v)$$f'(v,u) = 0$$\forall (u,v) \notin E$

$$(f \uparrow f')(u,v) = f(u,v) + f'(u,v) - f'(v,u) = 0 \, .$$

$(u,v) \in V \times V$

$$(f \uparrow f')(u,v) = f(u,v) + f'(u,v) - f'(v,u) \, .$$

Phần còn lại của bằng chứng sau quan sát này, tất nhiên, không được giải thích rõ ràng trong văn bản.

PS Xin lưu ý rằng định nghĩa chính thức của dòng chảy trong phiên bản thứ ba của cuốn sách khác biệt đáng kể so với định nghĩa trong phiên bản thứ hai. Đặc biệt, trong phiên bản thứ hai, có một thuộc tính dòng chảy có tên là đối xứng xiên yêu cầu $f(u,v) = - f(v,u), \forall u,v \in V$$(v,u) \notin E$$(u,v) \in E$$f(v,u) = 0$$(v,u) \notin E$