Liệu lý thuyết đồ thị phổ có nói gì về đẳng cấu đồ thị không

Có nghiên cứu hoặc có kết quả thảo luận về đẳng cấu đồ thị trong bối cảnh của lý thuyết đồ thị phổ?

Hai định lý đã biết của lý thuyết đồ thị phổ là:

1. Hai biểu đồ được gọi là isospectral hoặc cospectral nếu ma trận kề của các biểu đồ có nhiều giá trị bằng nhau của các giá trị riêng.

2. Hầu như tất cả các cây là cospectral.

3. Các giá trị riêng của ma trận kề của đồ thị là bất biến trong việc dán nhãn lại (nhưng đây không phải là điều kiện cần và đủ).

Hơn nữa, liệu đẳng cấu đồ thị có "dễ" giải quyết không?

Sự đẳng cấu đồ thị đã được đề cập cùng với thử nghiệm nguyên thủy vào đầu năm 1971 trong bài báo nổi tiếng của Cook về tính hoàn thiện NP. Cook đề cập rằng ông không thể chứng minh tính đầy đủ của cả hai vấn đề. Ngày nay chúng ta đã biết rằng kiểm tra tính nguyên thủy là trong P, nhưng tình trạng của đẳng cấu đồ thị vẫn chưa được biết. Hầu hết các chuyên gia phỏng đoán rằng đó là "NP-trung gian", nghĩa là không phải ở P mà không phải là NP hoàn chỉnh. Một số phỏng đoán cho rằng nó có thể giải được trong thời gian quasipolynomial (thuật toán chạy trong thời gian$2^{\log^{O(1)} n}$). Thuật toán được biết đến nhiều nhất hiện nay, do Luks, có thời gian chạy$2^{O(\sqrt{n\log n})}$. Nó sử dụng phương pháp lý thuyết nhóm được gọi là.

Hai phương pháp phổ biến nhất là cá nhân hóa / sàng lọc và phương pháp lý thuyết nhóm. Cách tiếp cận trước đây cố gắng khớp các đỉnh của một đồ thị với các đỉnh của đồ thị khác. Cho một đỉnh của độ$d$ thuộc về đồ thị đầu tiên, nó chỉ có thể khớp với một đỉnh độ $d$ trong biểu đồ khác, nhưng điều này không tiết kiệm nếu cả hai biểu đồ đều $d$-đều đặn. Cá nhân hóa / sàng lọc là một khuôn khổ để tạo ra các "đỉnh" chi tiết hơn.

Có thể một cách tiếp cận tương tự có thể tăng cường phương pháp quang phổ (như đã nêu thất bại đối với đồ thị cospectral), nhưng tôi không biết về bất kỳ công việc nào dọc theo các đường này (mặc dù nó có thể tồn tại; Tôi không phải là chuyên gia trong lĩnh vực này).

Phương pháp lý thuyết nhóm làm giảm sự đẳng cấu của đồ thị đối với vấn đề tìm máy phát cho các nhóm đồ thị tự động. Cho hai biểu đồ$G_1,G_2$, ý tưởng là để tính toán máy phát điện cho $\operatorname{Aut}(G_1 \cup G_2)$và kiểm tra xem có ai trong số họ chuyển đổi một đỉnh của $G_1$ với một đỉnh $G_2$. Để biết thêm chi tiết, xem ví dụ bài giảng của Arvind.

Để biết tổng quan gần đây về tình trạng của nghệ thuật, hãy tham khảo một bài báo của Babai; Babai là một trong những nhà nghiên cứu chính trong khu vực.

Thực tế đồ thị đẳng cấu là một vấn đề hoàn toàn khác. Một tổng quan gần đây có thể được tìm thấy trong một bài báo của McKay, tác giả của gói phổ biến nauty.