Thuật toán xấp xỉ bicriteria là gì?

Thuật toán xấp xỉ bicriteria là gì? Điều này tiếp tục đến trong trường hợp phân cụm luồng dữ liệu. Điều này có liên quan đến tối ưu hóa đa mục tiêu?

Đây là nơi tôi đã bắt gặp nó: cis.upenn.edu/~sudipto/myauge/datastream.pdf. Bài viết nói về một phiên bản phát trực tuyến của thuật toán k-mean. Có tài liệu tham khảo trong bài báo nhưng không ai trong số họ đưa ra lời giải thích về thuật toán xấp xỉ bicriteria là gì. Tôi dường như không thể tìm thấy bất cứ điều gì trên Google sẽ cho tôi một định nghĩa chính xác.

Tôi sẽ mở rộng câu trả lời của Yuval Filmus bằng cách đưa ra giải thích dựa trên các vấn đề tối ưu hóa đa mục tiêu .

Tối ưu hóa mục tiêu đơn và xấp xỉ

Trong khoa học máy tính, chúng ta thường nghiên cứu các vấn đề tối ưu hóa với một mục tiêu duy nhất (ví dụ: giảm thiểu f ( x ) theo một số ràng buộc). Khi chứng minh, tính đầy đủ của NP, người ta thường xem xét vấn đề ngân sách tương ứng . Ví dụ, trong bài toán phân nhóm tối đa, mục tiêu là tối đa hóa mức độ chính của nhóm, và vấn đề ngân sách là vấn đề quyết định liệu có một nhóm kích thước ít nhất là k , trong đó k được đưa ra như một phần của đầu vào vấn đề.

Khi không thể tính toán một giải pháp tối ưu một cách hiệu quả, như trong trường hợp có vấn đề cực đại, chúng tôi tìm kiếm một thuật toán gần đúng , một hàm đưa ra một giải pháp trong một hệ số nhân của một giải pháp tối ưu. Bạn cũng có thể xem xét một thuật toán gần đúng cho bài toán ngân sách, một hàm đưa ra giải pháp thỏa mãn f ( x ) ck trong trường hợp có vấn đề tối đa hóa, trong đó c là một số nhỏ hơn một. Trong tình huống này, giải pháp có thể vi phạm ràng buộc cứng f ( x ) k , nhưng "mức độ nghiêm trọng" của vi phạm bị ràng buộc bởi c .

Tối ưu hóa đa mục tiêu và xấp xỉ hai tiêu chí

Trong một số trường hợp, bạn có thể muốn tối ưu hóa hai mục tiêu cùng một lúc. Ví dụ, tôi có thể muốn tối đa hóa "doanh thu" của mình trong khi tối thiểu hóa "chi phí" của mình. Trong tình huống như vậy, không có giá trị tối ưu duy nhất, vì có sự đánh đổi giữa hai mục tiêu; để biết thêm thông tin, hãy xem bài viết Wikipedia về hiệu quả Pareto .

Một cách để biến vấn đề tối ưu hóa hai mục tiêu thành vấn đề tối ưu hóa một mục tiêu (mà chúng ta có thể suy luận về giá trị tối ưu của hàm mục tiêu) là xem xét hai vấn đề ràng buộc , một cho mỗi mục tiêu. Nếu vấn đề là đồng thời tối đa hóa f ( x ) trong khi tối thiểu hóa g ( x ), thì vấn đề ràng buộc đầu tiên là giảm thiểu g ( x ) theo ràng buộc f ( x ) k , trong đó k được đưa ra như một phần của đầu vào vấn đề tối ưu hóa mục tiêu duy nhất này. Vấn đề ràng buộc thứ hai được định nghĩa tương tự.

An ( α , β ) - bicriteria xấp xỉ thuật toán cho các vấn đề khó khăn đầu tiên là một chức năng mà phải mất một tham số ngân sách k như là đầu vào và đầu ra một giải pháp x mà

• $f(x) \geq \alpha k$
• $g(x) \leq \beta g(x^*)$

$x^*$

• $f(x) \geq \alpha f(x^*)$
• $g(x) \leq \beta \ell$

Nói cách khác, thuật toán xấp xỉ bicriteria đồng thời là một ứng dụng cho vấn đề ngân sách trong mục tiêu đầu tiên và vấn đề tối ưu hóa trong mục tiêu thứ hai. (Định nghĩa này được điều chỉnh từ trang bốn của " Tối ưu hóa mô hình con với vỏ bọc mô hình con và các ràng buộc Knodack dưới mô hình con ", bởi Iyer và Bilmes, 2013.)

Sự bất bình đẳng chuyển hướng khi các mục tiêu chuyển từ tối đa sang tối thiểu hoặc ngược lại.

$k$$\rho$$k$$V_1,\ldots,V_k$$\rho$$E(V_1,\ldots,V_k)$$\rho$

$f(n),g(n) \geq 1$$f(n),g(n)$$V_1,\ldots,V_k$$f(n)\rho$$g(n)\mathrm{OPT}$$\mathrm{OPT}$$\rho$

Nói cách khác, thuật toán xấp xỉ bicriteria đạt được tỷ lệ xấp xỉ nhất định trong khi vi phạm một số ràng buộc bởi một số lượng giới hạn. Để biết ví dụ về thuật toán xấp xỉ bicriteria cho vấn đề vừa mô tả, hãy xem bài viết này của anh em Makarychev.