Có một mối liên hệ giữa vấn đề tạm dừng và entropy nhiệt động?

Alan Turing đã đề xuất một mô hình cho một máy (Máy Turing, TM) tính toán (số, hàm, v.v.) và chứng minh Định lý Dừng .

TM là một khái niệm trừu tượng về máy (hoặc động cơ nếu bạn muốn). Định lý dừng là một kết quả không thể. Động cơ Carnot (CE) là một khái niệm trừu tượng về động cơ nhiệt và Carnot đã chứng minh Định lý Carnot , một kết quả bất khả thi khác liên quan đến entropy nhiệt động.

Cho rằng một TM có thể thực hiện được về mặt vật lý (ít nhất là bằng CE, hoặc có thể không?) Có ánh xạ hoặc biểu diễn hoặc "đẳng cấu" của TM hoặc CE có thể cho phép thống nhất các kết quả này và ngoài ra còn kết nối với entropy không?

Tất nhiên có các công thức của TM và Định lý tạm dừng về mặt lý thuyết thông tin thuật toán (ví dụ Chaitin, Kolmogorov, v.v.) và entropy (trong bối cảnh đó). Câu hỏi yêu cầu khái niệm vật lý hơn về entropy (nếu trong quá trình một câu trả lời tiềm năng thuật toán entropy phát sinh thì nó vẫn ổn, nhưng đó không phải là câu hỏi chính xác).

Người ta cũng có thể kiểm tra một câu hỏi khác trong vật lý.se liên quan đến độ không đảm bảo lượng tử với định luật nhiệt động lực học thứ 2. Xem thêm: một đặc tính đại số của entropy , một đặc tính thuật toán của entropy , một đánh giá và kết nối giữa các công thức khác nhau của entropy

Tôi hoàn toàn không phải là một chuyên gia trong lĩnh vực này, nhưng tôi tin rằng bạn sẽ quan tâm đến điện toán đảo ngược . Điều này liên quan đến, trong số những thứ khác, nghiên cứu về mối quan hệ giữa các quá trình có thể đảo ngược về mặt vật lý và các quá trình có thể đảo ngược về mặt logic. Tôi nghĩ sẽ công bằng khi nói rằng "những người sáng lập" của lĩnh vực này là / là Ralph Landauer và Charles H Bennett (cả hai nghiên cứu của IBM, tôi nghĩ vậy.)

$\times$

Nhiều người nghiên cứu trong lĩnh vực này cũng đang nghiên cứu về điện toán lượng tử và vật lý số (ý tưởng cho rằng vũ trụ là một máy tự động tế bào lượng tử lớn). Những cái tên mà các nhà nghiên cứu nghĩ đến là Ed Fredkin , Tommaso Toffoli và Norm Margolus .

Những câu hỏi này là hoàn toàn về chủ đề cho khoa học máy tính. Không chỉ cho lý thuyết (bao gồm toán học mát mẻ cũng như vật lý tuyệt vời) mà còn cho các kỹ sư muốn biết giới hạn cuối cùng của tính toán. Có một khối lượng tối thiểu hoặc năng lượng cần thiết để lưu trữ một chút thông tin? Các hành động cần thiết để thực hiện một tính toán đảo ngược có thể liên tục, nhưng có giới hạn về những gì không thay đổi đó là? Đây là những kiến ​​thức quan trọng cho các kỹ sư đang cố gắng đẩy ranh giới của những gì có thể.

Tôi không quen thuộc với Định lý Carnot, ngoại trừ những gì tôi vừa đọc trên Wikipedia, nhưng ngay cả từ phần giới thiệu khó hiểu đó, có một mối liên hệ trong cấu trúc của các bằng chứng, và điều đó có thể thú vị với bạn, vì đó là một kỹ thuật chứng minh đó là áp dụng trong nhiều lĩnh vực.

Cả hai đều là bằng chứng bởi mâu thuẫn trong đó cho thấy rằng không có thứ gì trong một lớp nhất định có một số thuộc tính, bạn cho rằng một số trường hợp thực sự có thuộc tính đó, và sau đó cho thấy mâu thuẫn xảy ra.

Vấn đề dừng lại thú vị ở chỗ mâu thuẫn phát sinh từ một số tương tác tự liên quan đến trường hợp cụ thể (đó là máy M có thể xác định liệu một máy tùy ý có dừng lại với đầu vào đã cho hay không). Cụ thể, bạn xây dựng một máy mới bao gồm M là một thành phần, sau đó đưa máy mới đến M.

Ai đó có nhiều kiến ​​thức hơn về Định lý Carnot có thể giải thích về nó (điều mà tôi không đủ điều kiện để làm), nhưng có vẻ như mâu thuẫn phát sinh từ loại động cơ nhiệt mà bạn có thể chế tạo nếu bạn có một ví dụ với tài sản trong tay.

Vì vậy, cả hai trường hợp liên quan đến việc xây dựng:

• Giả sử một số X có tài sản P.
  • Từ X, xây dựng Y.
  • Mối quan hệ giữa X và Y trái ngược nhau.
• Do đó, không có X có tài sản P.

Tuy nhiên, dường như có một sự khác biệt trong đó mâu thuẫn trong trường hợp Định lý dừng là một mâu thuẫn logic thuần túy, và sẽ mâu thuẫn trong bất kỳ bối cảnh nào của logic cổ điển. Định lý Carnot, như tôi hiểu, chỉ mâu thuẫn với định luật nhiệt động thứ hai. Từ góc độ logic, đó là một tiên đề, vì vậy nếu bạn lấy một tiên đề khác trong đó định luật nhiệt động lực học thứ hai không nắm giữ, Định lý Carnot sẽ không phải là một định lý, bởi vì mâu thuẫn sẽ không tồn tại. (Những gì chính thức hóa nhiệt động lực học sẽ trông như thế nào nếu không có luật thứ hai là loại câu hỏi dẫn địa lý đến hình học phi Euclide.)

IANAPhysicist nhưng tôi không thấy bất kỳ kết nối. Máy Turing là đối tượng của toán học thuần túy và tính không ổn định của vấn đề tạm dừng là độc lập với bất kỳ hiện thực vật lý nào của bất cứ điều gì.

câu hỏi đa chủ đề đa dạng này không có câu trả lời đơn giản / dễ dàng và chạm vào các lĩnh vực hoạt động của nghiên cứu TCS. tuy nhiên đó là một câu hỏi hiếm hoi về mối liên hệ giữa vật lý & TCS đã khiến tôi quan tâm trong nhiều năm qua. Có một vài hướng khác nhau để đi về điều này. câu trả lời cơ bản là "câu hỏi mở" nhưng với một số nghiên cứu hiện đại / tích cực chạm vào nó và gợi ý về các kết nối.

• có một số vấn đề đáng ngạc nhiên / sâu sắc không thể giải quyết được từ vật lý tiên tiến. ví dụ từ các hệ thống động lực. tuy nhiên, chưa thấy điều này được kết nối với entropy per se, nhưng entropy được liên kết với tất cả các hệ thống vật lý (ví dụ người ta có thể thấy điều này trong lý thuyết hóa học), do đó ít nhất phải có một liên kết gián tiếp.

• entropy thực sự xuất hiện trong CS nhưng nhiều hơn ở dạng lý thuyết thông tin và lý thuyết mã hóa. sự ra đời của lý thuyết mã hóa liên quan đến định nghĩa / phân tích entropy liên quan đến mã truyền thông của Shannon. hãy thử lý thuyết thông tin Entropy & thông tin trực tuyến tuyệt vời này của Gray

• entropy đôi khi cũng liên quan đến việc đo lường tính ngẫu nhiên trong PRNG. có một mối liên hệ của sự phân tách lớp phức tạp (ví dụ P =? NP) với PRNG trong bài báo "Bằng chứng tự nhiên" nổi tiếng của Razborov / Rudich. vẫn đang tiếp tục nghiên cứu về subj này.

• bạn đề cập đến nhiệt động lực học và kết nối của nó với TCS. có một mối liên hệ sâu sắc giữa từ hóa trong kính xoay trong vật lý và các vấn đề hoàn chỉnh NP được nghiên cứu trong điểm chuyển tiếp SAT. ở đó (một lần nữa) hệ thống vật lý có một entropy liên quan đến nó nhưng có lẽ nó đã được nghiên cứu nhiều hơn trong bối cảnh vật lý hơn là bối cảnh TCS.

Có một vấn đề suy nghĩ đơn giản đôi khi được sử dụng như là một giới thiệu về mô hình điện toán không thông thường:

Bạn có hai bóng đèn và công tắc bật tắt tương ứng của chúng. Ai đó mở và đóng cả hai đèn lần lượt. Làm thế nào để bạn xác định cái nào được đóng trước và cái nào được đóng trước? Xác định số lần tối thiểu bạn sẽ cần để mở đèn để quyết định vấn đề này.

Hầu hết các nhà khoa học máy tính thường cố gắng tìm một số giải pháp dựa trên logic boolean. Câu trả lời là (ít nhất một trong số chúng): bằng cách chạm vào bóng đèn và xem cái nào nóng hơn.

Các mô hình dựa trên nhiệt tồn tại trong khoa học máy tính: mô phỏng ủ là một thuật toán đã biết (máy tính lượng tử sóng D là đối tác lượng tử của thuật toán).

Bây giờ có một mối quan hệ với vấn đề Dừng?

Tác phẩm kinh điển của Chaitin và Calude về vấn đề Ngừng thông qua khái niệm số Omega có thể được liên kết với công thức xác suất của vấn đề Ngừng. Đây là chuyên luận gần đây hơn về vấn đề mà tôi có thể nghĩ đến ... và không có mối quan hệ rõ ràng nào với entropy (nhiệt động lực học). Bây giờ nếu entropy thông tin (theo nghĩa của Shannon) tốt với bạn, thì số Omega mã hóa theo cách cô đọng nhất cho vấn đề Ngừng, theo nghĩa của một Shannon bị ràng buộc.

Nói tóm lại, số Omega là xác suất để một chương trình ngẫu nhiên tạm dừng. Biết hằng số sẽ cho phép liệt kê tất cả các câu toán học hợp lệ (sự thật, tiên đề, v.v.) và không thể tính toán được. Calude đã tính toán một phiên bản Omega bằng cách thay đổi thước đo xác suất đồng nhất với thước đo tỷ lệ nghịch với độ dài của chương trình ngẫu nhiên và bằng cách sử dụng mã hóa không có tiền tố. Vì vậy, chúng ta có thể nói về Omega của Chaitin và Omega của Calude.

Vâng!, Thật kỳ lạ, tôi đã nghĩ về điều này .. Đây là ý tưởng:

Bước đầu tiên

Mô hình hóa con quỷ Maxwell như một chương trình máy tính. Sau đó, làm thế nào mà Demon biết được tốc độ và vị trí của hạt trước khi mở cửa để lựa chọn?

Giả sử rằng con quỷ không thể đo được tốc độ mà các hạt đập vào cửa, tại sao? bởi vì điều đó sẽ thay đổi tốc độ của hạt, nên quỷ phải tìm ra trước khi mở nó, không cần nhìn, không cần đo. Để công bằng, chúng ta sẽ cho quỷ biết trước các quy tắc của trò chơi, tức là cho quỷ ăn các quy luật chuyển động, tương tác của các hạt và điều kiện ban đầu, đủ mô hình vật lý / động.

Bước thứ hai

Bây giờ mô hình hóa khí của các hạt cũng như một chương trình máy tính đang chạy cùng một mã cho quỷ cho mọi hạt, vì vậy khí đang tính toán kết quả từ các điều kiện ban đầu của nó, Demon không biết kết quả đó cho đến khi nó dừng lại (nếu có ): cụ thể là "một hạt với tốc độ phù hợp đang ở trước cửa", quyết định có / không có câu hỏi mà chúng tôi đang đặt ra cho hệ thống là "Có một hạt đúng vị trí và đủ tốc độ không?", nếu vậy, cửa có thể được mở và hạt nhanh có thể đi vào phía nhiệt độ cao trong phòng đặt ra các điều kiện ban đầu mới (những vấn đề liên tiếp đó sẽ có câu trả lời? hay sẽ chạy mãi mãi?)

Sẽ có lúc không có hạt nào có đủ tốc độ để vượt qua ranh giới, vì vậy, sẽ có lúc mã sẽ chạy mãi mãi (không dừng lại) trong gần như bất kỳ ngưỡng nào.

Quỷ muốn biết kết quả được tính toán bằng khí, nhưng kết quả là theo nghĩa có khả năng liên quan đến mã nguồn của các định luật của hạt cộng với các điều kiện ban đầu .. tất nhiên chúng ta cần chạy chương trình đó để biết. Nếu Demon chạy cùng một chương trình chờ tốc độ phù hợp ở đầu ra, chương trình có thể dừng hoặc nó có thể chạy mãi mãi (nhưng chúng tôi cho rằng quỷ cũng không có sức mạnh tính toán hơn khí, nên nó sẽ không thể quyết định mở cửa đúng giờ).

Daemon có thể cố gắng tìm ra đầu ra của chương trình (hoặc nếu nó sẽ dừng) bằng cách xem nguồn và đầu vào mà không chạy nó, nhưng nó giống như cố gắng giải quyết vấn đề Dừng, tại sao? bởi vì Demon không biết luật nào và điều kiện ban đầu sẽ được cung cấp, vì vậy Demon nên chuẩn bị để giải quyết cho bất kỳ bộ luật và điều kiện ban đầu nào, và chúng ta biết rằng nói chung là không thể, nó sẽ cần một lời tiên tri, nếu có thể đủ để xây dựng một con quỷ để tạo ra năng lượng từ hư vô. (ngay cả khi biết luật và điều kiện ban đầu, cả hai điều đã đủ khó để biết)

Thí nghiệm suy nghĩ này có thể liên kết làm thế nào việc giảm entropy, bằng phương tiện của máy tính, theo một cách nào đó có thể bị ràng buộc bởi Vấn đề Ngừng , như một vấn đề để dự đoán chung về kết quả.

(Đôi khi tất cả các giới hạn dường như là cùng một giới hạn ..)

Thông tin thêm về Luật hạt

Các định luật hạt không phải là vấn đề chính của thí nghiệm tư tưởng này, các định luật đó có thể là lượng tử hoặc cổ điển, nhưng chúng ta phải tính đến thực tế về sự phức tạp của các luật và điều kiện ban đầu, sự phức tạp của việc sắp xếp các hạt không bị ràng buộc và nó có thể có rất nhiều sự phức tạp được thêm vào (trong một ví dụ cực đoan về các điều kiện ban đầu, bạn thậm chí có thể chèn toàn bộ các hạt bắn máy tính theo một mã nguồn nội bộ và đưa mã đó cho daemon).

Câu hỏi rất hấp dẫn thực sự, và chúng tôi sẽ thấy rằng suy nghĩ của bạn là chính xác .

Trước tiên hãy xem nguyên tắc thứ hai của nhiệt động lực học nói gì.

Hàm entropy được sử dụng trong định luật nhiệt động lực học thứ 2. Nó xuất phát từ định lý của Carnot, nói rằng các quá trình diễn ra trong máy hơi nước có hiệu suất thấp hơn hoặc tốt nhất bằng máy "đảo ngược" tương ứng (có vẻ như là một khái niệm không ổn định trong 150 năm nhiệt động). Carnot không tự mình thực hiện chức năng entropy, nhưng cùng với Clausius, đây là những gì họ nói:

Vì không có máy liên tục, nên chúng ta có thể xây dựng hàm S gọi là entropy ràng buộc các biện pháp nhiệt động học vĩ mô vào một phương trình nhất định, cụ thể là S (V, T, P, v.v.) = 0

Lưu ý rằng phương trình này không là gì ngoài phương trình của một siêu bề mặt trong không gian của các biện pháp nhiệt động.

Nhập Carathéodory.

Carathéodory là một nhà toán học người Đức và giống như tất cả các nhà toán học khác, ông muốn rút ra khỏi Carnot và Clausius lý luận một số tiên đề sẽ cho phép ông làm rõ luật thứ hai thực sự là gì. Nói thẳng ra, anh ta muốn thanh lọc nhiệt động lực học để biết chính xác entropy là gì.

Sau khi liệt kê một số tiên đề nhất định, anh ta quản lý để xây dựng luật thứ hai NGÀI, trong đó nói (ít nhiều):

Có một số quá trình đáng tin cậy. Hoặc bình thường hơn, nếu bạn muốn trở về, đôi khi làm việc một mình là không đủ. Bạn cần một chút nhiệt.

Bây giờ có vẻ RẤT khác với công thức của Clausius! Nhưng thực tế thì không phải vậy. Tất cả Carathéodory đã làm là thay đổi thứ tự của các từ, giống như các nhà toán học đã chơi với tiên đề thứ 5 của Euclide trong 2.000 năm và tạo ra nhiều từ ngữ khác nhau cho tiên đề đó. Và nếu bạn lùi lại một bước, bạn không nên quá ngạc nhiên trước tuyên bố của luật thứ hai của Carathéodory. Trong thực tế, Carathéodory dẫn đến hàm entropy chính xác và phương trình siêu bề mặt S (V, T, P, v.v.) = 0

Hãy suy nghĩ kỹ về định lý của Carnot. Là một nhà toán học, bạn không nên quá hài lòng về cách mà Carnot thừa nhận các máy liên tục không tồn tại. Trong thực tế, là một nhà toán học, bạn muốn thấy một cái gì đó như thế này:

Có một hàm entropy S ràng buộc các biện pháp vĩ mô NẾU VÀ CHỈ NẾU không có máy liên tục ".

BÂY GIỜ bạn có một định lý. Và nó nói lên điều gì? Chừng nào không có hệ thống cơ học biệt lập tạo ra một lượng năng lượng vô hạn và do đó có thể đưa bạn đến bất kỳ trạng thái nào bạn muốn, thì bạn sẽ tìm thấy một hàm entropy. Một hệ thống cơ học bị cô lập là một quá trình đáng tin cậy. Do đó công thức của Carathéodory: không có hệ thống tin cậy nào có thể dẫn bạn đến bất cứ đâu. Đôi khi bạn sẽ cần một chút nhiệt.

Vì vậy, không chỉ chúng tôi chắc chắn rằng Carathéodory là chính xác, mà còn là công thức của anh ấy khá đơn giản.

Bây giờ bạn có ấn tượng rằng luật thứ hai à la Carathéodory tương tự như vấn đề tạm dừng?

Lùi một bước về tuyên bố của Carathéodory. Tất cả những gì nó nói là một khi bạn có một hệ thống cơ học biệt lập mà bạn ngừng kết hợp với nó, bạn không thể đạt đến bất kỳ trạng thái nào bạn muốn.

Điều đó không có vẻ CHÍNH XÁC như vấn đề tạm dừng? Tức là một khi bạn đã viết tất cả các tiên đề của lý thuyết của mình và đặt ra tất cả các chuyển đổi có thể, sẽ có những vấn đề mà bạn không thể giải quyết. Đôi khi, bạn sẽ cần thêm nhiều tiên đề.

Trong thực tế nếu bạn muốn đi sâu và mã hóa công thức của Carathéodory, điều này sẽ dẫn đến cùng một mã với vấn đề tạm dừng với các quy trình tin cậy thay vì máy Turing và thay vì các vấn đề.

Bạn nghĩ sao?

LƯU Ý: Tôi đã chỉnh sửa câu trả lời của mình gần như hoàn toàn để các bình luận bên dưới sẽ không phù hợp với nội dung hiện tại.