Các hàm Boolean Turing đã hoàn thành chưa

9

Hàm Boolean là hàm . $f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$

Cơ sở boolean được biết đến là Turing hoàn thành vì nó cho phép bất kỳ chuỗi để được lộn hoặc bị bỏ lại không thay đổi. Điều tương tự cũng có thể nói về cổng $(\vee,\wedge)$ $s\in\{0,1\}$ $\mathrm{XOR}$

Theo nghĩa này, chúng ta có thể bắt đầu với một cấu hình máy ban đầu sao cho và với các giá trị liên tiếp : $\textbf{b}=(b_1,\ldots,b_n)$ $b_i\in\{0,1\}$ $\mathrm{XOR}$ $\textbf{v}_i$

$\textbf{b}\oplus\textbf{v}_1\oplus\textbf{v}_2\oplus\textbf{v}_3\ldots$

Mỗi trạng thái sẽ đại diện cho một hoán vị của một số phần tử trong . Quá trình này bắt chước một cách hiệu quả một máy Turing và giả định rằng có một số trình tạo cho các giá trị . $\textbf{v}_i$ $\textbf{b}$ $\textbf{v}_i$

Vì vậy, chúng ta có thể nói rằng các chức năng Boolean Turing hoàn thành?

turing-machines turing-completeness boolean-algebra

— người dùng13675
nguồn

1

Làm thế nào máy móc này có thể bị mắc kẹt trong một vòng lặp vô hạn?

— Guildenstern

v_{i}

$\textbf{v}_i$

8

Một cách không chính thức, một ngôn ngữ (lập trình) là Turing hoàn chỉnh nếu mọi chức năng tính toán đều có biểu diễn. Hàm tính toán chung chấp nhận đầu vào có kích thước tùy ý. Mặt khác, các hàm Boolean chấp nhận đầu vào có kích thước cố định. Do đó, các hàm Boolean thậm chí không đủ điều kiện là có khả năng hoàn thành Turing.

$k$ $k$ $x_1,\ldots,x_n$ $n \geq 1$ $\{\lnot,\lor,\land\}$ $\{\lnot,\Rightarrow\}$ $\{\lnot,\oplus\}$ không đầy đủ: nó chỉ có thể biểu thị các hàm tuyến tính.

— Yuval Filmus
nguồn

Đối tác của họ, các mạch boolean, sẽ hoàn thành Turing? Tôi đoán họ là vì Cook (trong bằng chứng của ông về tính hoàn chỉnh NP của 3SAT) đã cho thấy máy Turing và mạch boolean tương đương như thế nào?

— user13675

@ user13675 Không, đó chính xác là cùng một vấn đề. Mỗi máy Turing tạm dừng có thể được chuyển đổi thành một mạch Boolean tương đương hoặc công thức cho mọi kích thước đầu vào, nhưng với mỗi kích thước, bạn sẽ cần một kích thước khác nhau.

— Yuval Filmus

5

Nói đúng như YF đã trả lời, các mạch hữu hạn không thể hoàn thành Turing.

tuy nhiên giá trị của nó đề cập đến một câu trả lời cho câu hỏi này (và có thể là những gì bạn đang tìm kiếm) một khái niệm liên quan chặt chẽ được sử dụng khá rộng rãi trong lý thuyết, nơi các mạch được sử dụng để tính toán các hàm mạnh hơn Turing hoàn chỉnh.

$n$ $C_n$

— vzn
nguồn