Chứng minh rằng cứ hai đường dẫn dài nhất có ít nhất một đỉnh chung

Nếu đồ thị được kết nối và không có đường dẫn có độ dài lớn hơn , hãy chứng minh rằng cứ hai đường dẫn trong có độ dài có ít nhất một đỉnh chung. $G$ $k$ $G$ $k$

Tôi nghĩ rằng đỉnh chung đó nên ở giữa cả hai đường dẫn. Bởi vì nếu đây không phải là trường hợp thì chúng ta có thể có một đường dẫn có độ dài . Tôi có đúng không $>k$

graph-theory graphs combinatorics

— Saurabh
nguồn

Mẫu đối với đồ thị có hướng không được kết nối mạnh: các đỉnh

, các cạnh

, các đường dẫn

và

không có đỉnh chung.

A, B, C, D

$A,B,C,D$

A \to C

$A \to C$

A \to D

$A \to D$

B \to D

$B \to D$

A \to C

$A \to C$

B \to D

$B \to D$

— sdcvvc

@sdcvvc, bạn có thể cung cấp nó dưới dạng câu trả lời.

@sdcvvc Tôi đoán câu hỏi được giới hạn trong các đồ thị vô hướng.

— Raphael

Bạn có thể xác nhận (hoặc xác nhận) rằng

là một đồ thị vô hướng và bạn chỉ đang xem xét các đường dẫn đơn giản (= không có chu kỳ)?

G

$G$

— Gilles 'SO- ngừng trở nên xấu xa'

@Gilles Có đồ thị là vô hướng và đường dẫn đi trong đó chứa các cạnh và đỉnh riêng biệt.

— Saurabh

Câu trả lời:

Giả sử cho mâu thuẫn đó $P_{1} = \langle v_{0},\ldots,v_{k}\rangle$ và $P_{2} = \langle u_{0},\ldots,u_{k}\rangle$ hai đường dẫn trong $G$ có độ dài $k$ không có đỉnh chung.

Như $G$ được kết nối, có một con đường $P'$ kết nối $v_{i}$ để $u_{j}$ đối với một số $i,j \in [1,k]$ như vậy $P'$ cổ phiếu không có đỉnh với $P_{1} \cup P_{2}$ khác hơn $v_{i}$ và $u_{j}$ . Say $P' = \langle v_{i},x_{0},\ldots,x_{b},u_{j}\rangle$ (lưu ý rằng có thể không có $x_{i}$ đỉnh, tức là, $b$ có thể $0$ - ký hiệu là một chút thiếu mặc dù).

Không mất tính tổng quát ta có thể giả định rằng $i,j \geq \lceil\frac{k}{2}\rceil$ (chúng tôi luôn có thể hủy việc đánh số). Sau đó, chúng ta có thể xây dựng một con đường mới $P^{*} = \langle v_{0},\ldots,v_{i},x_{1},\ldots,x_{b},u_{j},\ldots,u_{0}\rangle$ (bằng cách cùng $P_{1}$ đến $v_{i}$ , rồi băng qua cây cầu hình thành bằng $P'$ đến $u_{j}$ , sau đó dọc theo $P_{2}$ đến $u_{0}$ ).

Rõ ràng $P^{*}$ có chiều dài ít nhất $k+1$ , nhưng mâu thuẫn với này giả định rằng $G$ không có con đường của hơn chiều dài hơn $k$ .

Vì vậy, bất kỳ hai đường dẫn có độ dài $k$ phải giao nhau ít nhất một đỉnh và quan sát của bạn rằng nó phải ở giữa (nếu chỉ có một) theo sau khi bạn suy luận.

— Luke Mathieson
nguồn

Tôi nghĩ rằng bạn cần

, nếu không thì con đường mới không nhất thiết phải lâu hơn. Lưu ý rằng

là có thể.

j \leq ⌊ \frac{k}{2} ⌋

$j \leq \lfloor\frac{k}{2}\rfloor$

b = 0

$b=0$

— Raphael

@Raphael Vâng, tôi đã không nói rõ nó (và sử dụng ký hiệu hơi gây hiểu lầm), nhưng

có thể khá hạnh phúc được

, cây cầu luôn luôn bổ sung thêm ít nhất một cạnh tuy nhiên, ngay cả khi các đỉnh chỉ trong

là

và

. Về điểm thứ nhất, lưu ý rằng tôi đã xây dựng con đường từ

, vì vậy

b

$b$

0

$0$

P^{'}

$P'$

v_{i}

$v_{i}$

u_{j}

$u_{j}$

v_{0} \to v_{i} \to u_{j} \to u_{0}

$v_{0} \rightarrow v_{i} \rightarrow u_{j}\rightarrow \mathbf{u_{0}}$

là đúng. Nếu nó đã đi đến

thì

j \geq ⌈ \frac{k}{2} ⌉

$j \geq \lceil\frac{k}{2}\rceil$

u_{k}

$u_{k}$

j \leq ⌊ \frac{k}{2} ⌋

$j \leq \lfloor\frac{k}{2}\rfloor$ would be the right condition.

— Luke Mathieson

You are right that the common vertex must occur in the middle of both paths.

However that intuition will not solve the actual problem you're trying to solve.

Instead try to demonstrate that, given any point in the path, the path segment from (and including) that point to one of the ends of the original path must have strictly greater than half as many nodes as the full path.

Once you have shown that, you will be able to both solve the problem that you were asked and verify your conjecture.

— btilly
nguồn