Những thuật toán tồn tại để giải hệ thống tuyến tính số tự nhiên?

Tôi đang xem xét vấn đề sau:

Với vectơ chiều các số tự nhiên v 1 , ... , v m và một số vector đầu vào u , là u một sự kết hợp tuyến tính của các v i 's với hệ số số tự nhiên?$n$$v_1, \ldots, v_m$$u$$u$$v_i$

tức là đang có một số nơi u = t 1 v 1 + ⋯ + t m v m ?$t_1, \ldots, t_m \in \mathbb{N}$$u = t_1 v_1 + \dots + t_m v_m$

Rõ ràng phiên bản số thực của vấn đề này có thể được giải quyết bằng cách loại bỏ Gaussian. Tôi đang tự hỏi, phiên bản số nguyên của vấn đề này đã được nghiên cứu chưa? Những thuật toán tồn tại để giải quyết nó?

Lưu ý rằng đây là sử dụng số tự nhiên, nhưng không phải là số học mô-đun, do đó, điều này hơi khác biệt với Định lý còn lại của Trung Quốc và các hệ thống như thế. Ngoài ra, nó có vẻ liên quan đến phương trình Diophantine, nhưng tôi tự hỏi điều gì đã được thực hiện trong trường hợp chỉ xem xét các số nguyên không âm? Điều này cũng gợi nhớ đến một vấn đề tổng hợp đa chiều, được khái quát hóa để cho phép chúng ta lấy một số lượng bản sao tùy ý của mỗi vectơ. Nó cũng có vẻ liên quan đến kiểm tra cho dù là một yếu tố của mạng được tạo ra bởi v 1 , ... , v m , ngoại trừ ở đây chúng tôi chỉ cho phép kết hợp tuyến tính với hệ số không âm.$u$$v_1,\dots,v_m$

Đối với bất kỳ ai quan tâm, điều này được thúc đẩy bằng cách xem xét một vectơ Parikh có nằm trong tập tuyến tính hay không, như trong Định lý của Parikh .

Cụ thể, tôi quan tâm đến một thuật toán có thể giải quyết vấn đề chỉ bằng các phép toán số tự nhiên, tránh đi vào các số thực / số dấu phẩy động.

Vấn đề của bạn là NP-đầy đủ, bằng cách giảm từ Subset Sum (nó nằm trong NP vì thực tế là mọi thứ đều không giới hạn các hệ số của giải pháp đủ tốt). Cho một ví dụ của tập hợp con Sum (là có một tập hợp con của S cách tổng hợp để T ?), Chúng ta xây dựng một thể hiện v 1 , ... , v 2 n , u của vấn đề của bạn như sau Đối với mỗi từ 1 ≤ i ≤ n , chúng tôi đặt v $S = \{s_1,\ldots,s_n\}, T$$S$$T$$v_1,\ldots,v_{2n},u$$1 \leq i \leq n$$v_i$là vectơ có hai mục nhập khác không: và v i , n + 1 = s i và v n + i là vectơ có mục nhập khác không duy nhất v n + i , i = 1 . Các vector mục tiêu là u = 1 , ... , 1 , T . Mỗi sự kết hợp tự nhiên của v 1 , ... , v 2 $v_{i,i} = 1$$v_{i,n+1} = s_i$$v_{n+i}$$v_{n+i,i} = 1$$u=1,\ldots,1,T$$v_1,\ldots,v_{2n}$bằng phải chọn chính xác một trong mỗi v i , v n + i và do đó mã hóa một tập hợp con của S có tổng là giá trị của thành phần cuối cùng.$1,\ldots,1,\ast$$v_i,v_{n+i}$$S$