Tổng ma trận phụ tối đa

Đưa ra $n\times m$ ma trận $A$của các số nguyên, tìm một ma trận con có tổng là cực đại. Nếu chỉ có một hàng hoặc một cột duy nhất, thì điều này tương đương với việc tìm một mảng con tối đa .

Phiên bản 1D có thể được giải quyết trong thời gian tuyến tính bằng lập trình động. Phiên bản 2D có thể được giải quyết trong$\cal O(n^3)$ bằng cách lặp qua tất cả các cặp cột và sử dụng thuật toán 1D trên mảng có độ dài là số hàng trong ma trận trong đó mỗi vị trí $r$ giữ tổng của các phần tử ở hàng $r$ giữa hai cột.

Nếu ma trận được cho bởi:

Sau đó cho cặp cột $(0,2)$, tổng ma trận con tối đa có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng thuật toán 1D trên mảng (từ trên xuống dưới):

Tôi tìm thấy điều này: Sung Eun Bae, Thuật toán tuần tự và song song cho bài toán Subarray tối đa tổng quát . Đọc các trang 18-30, trong đó nói rằng chỉ có hình khối$O(nm^2)$và các thuật toán phân khối cho vấn đề này (trong trường hợp tổng quát), ví dụ Tadao Takaoka 's$O\left(n^3 \sqrt{\frac{\log\log n }{\log n }}\right)$ thuật toán.

Tôi cũng đã tìm thấy một bình luận diễn đàn nói rằng vấn đề này có thể được giải quyết trong$O(N^2\log N )$đối với ma trận có N phần tử khác không sử dụng cây phân đoạn "vui nhộn" (bạn có thể hỏi người bình luận về chi tiết).