Một hàm

Tôi muốn xác định, ý nghĩa của việc đưa ra một đại số làm đầu vào cho một thuật toán và không tìm thấy nhiều tài liệu về nó. Vì vậy, trước tiên tôi muốn hỏi liệu bạn có thể đề xuất một cuốn sách hoặc bài viết liên quan đến chủ đề phân tích độ phức tạp của đại số trên các trường và xác định rõ vấn đề quyết định .

Sau khi đào bới, tôi đã tìm thấy một cái gì đó và muốn chia sẻ nó ở đây và hơn nữa hỏi xem các định nghĩa có hợp lý và phù hợp với tài liệu không (nếu có):

Định nghĩa: Hãy là một lĩnh vực và là hữu hạn tạo ra hoán -algebra với phụ gia cơ sở . Bây giờ chúng tôi muốn nắm bắt cấu trúc nhân của đại số và do đó viết mọi sản phẩm của các phần tử cơ bản dưới dạng kết hợp tuyến tính của tất cả các phần tử cơ bản: Các được gọi là hệ số cấu trúc . Chúng tôi trực tiếp có: Một F b 1 , ... , b n ∈ F ∀ 1 ≤ i , j , k ≤ n : ∃ một i j k : b i b j = n Σ k = 1 một i j k b k$\mathbb F$$A$$\mathbb F$$b_1,\ldots, b_n\in\mathbb F$

$$\forall 1\leq i, j, k\leq n: \exists a_{ijk}: b_ib_j=\sum_{k=1}^n a_{ijk}b_k.$$ Một ≅ F [ b 1 , ... , b $a_{ijk}${(A,B)|Một,B giao hoán  F -algebras với cơ sở  b 1 ,... b n  và Một≅B}. φ:Một→Bφ $$A \cong \left.\mathbb{F}[b_1, \ldots, b_n] \middle/ \left<b_i b_j-\sum_{k=1}^n a_{ijk}b_k\right>_{1\leq i,j\leq n}\right..$$ Bây giờ người ta có thể xác định vấn đề quyết định sau: Để xác định một đẳng cấu nó là đủ để viết mỗi như sự kết hợp tuyến tính của các yếu tố của một cơ sở . $$\{(A,B)\mid A, B \text{ commutative $\mathbb F$-algebras with basis $b_1, \ldots b_n$ and } A\cong B\}.$$ $\phi:A\rightarrow B$$\phi(b_i)$$B$

Có bất cứ điều gì trong định nghĩa này có vẻ lạ đối với bạn hoặc bạn nghĩ rằng người ta có thể làm việc với nó?

Động lực: Động lực của tôi đằng sau điều này là đưa ra một định nghĩa rất rõ ràng về vấn đề quyết định trước tiên để kết nối nó với các vấn đề khác, tức là vấn đề quyết định tương đương đa thức: Đưa ra hai đa thức , chúng ta nói rằng là tương đương với nếu có tồn tại một nghịch tuyến tính biến đổi trên các biến như vậy mà . Nói cách khác, hai đa thức là tương đương nếu bạn có thể thay thế mọi biến bằng một tổ hợp tuyến tính của tất cả các biến để có được đa thức khác.f g τ f ( τ ( x 1 ) , ... $f,g\in\mathbb F[x_1, \ldots, x_n]$$f$$g$$\tau$$f(\tau(x_1), \ldots, \tau(x_n))=g(x_1, \ldots, x_n)$

Tôi không chắc liệu điều này có giúp ích gì không nhưng sự kết nối của các vấn đề này được thiết lập bằng cách xây dựng các phép toán giao hoán được tạo ra một cách chính xác từ hai đa thức là đẳng cấu khi và chỉ khi đa thức là tương đương. Đối với điều này, tôi muốn chắc chắn rằng vấn đề quyết định được xác định rất rõ ràng.$\mathbb F$

Điều này dường như phù hợp với cách trình bày trong Tương đương của -achebras và dạng khối$\mathbb{F}$ , Agrawal & Saxena (2006) .

Khả năng tính toán trên cấu trúc toán học là một lĩnh vực nghiên cứu lâu dài và được thiết lập tốt. Ví dụ: xem:

• Edward R. Griffor, " Cẩm nang lý thuyết tính toán ", 1999

• Leonidovich Ershov, " Sổ tay toán học đệ quy: Đại số đệ quy, phân tích và kết hợp ", 1998

hoặc google cho:

• đại số tính toán
• lý thuyết mô hình tính toán