Là SAT trong P nếu có nhiều mệnh đề theo số mũ?

7

Tôi xác định một CNF dài để chứa ít nhất $2^\frac{n}{2}$ mệnh đề, ở đâu $n$ là số lượng biến của nó. Đặt là một công thức CNF dài thỏa đáng . $\text{Long-SAT}=\{\phi: \phi$ $\}$

Tôi muốn biết tại sao . Đầu tiên tôi nghĩ đó là vì tôi có thể thực hiện giảm thời gian đa thức từ thành , phải không? $\text{Long-SAT} \in P$ $\text{NPC}$ $\text{SAT}$ $\text{Long-SAT}$

Nhưng có lẽ tôi có thể giảm $\text{2-SAT}$ thành $\text{Long-SAT}$ ? Làm thế nào để làm điều đó?

— Tử số
nguồn

@Numerator: Xem ra trong câu cuối cùng trong câu hỏi. Giảm một vấn đề dễ dàng (2-SAT trong trường hợp này) cho vấn đề của bạn không có nghĩa là vấn đề của bạn dễ dàng.

— Tsuyoshi Ito

1

@TsuyoshiIto: Chúng tôi cố gắng giữ các thẻ lạ. Xin vui lòng chỉnh sửa sự xuất hiện thường xuyên. Nếu bạn phát hiện ra việc sử dụng rộng rãi (mis) hoặc gặp phải sự phản đối, vui lòng đưa nó đến meta (thay vì thảo luận trong các bình luận bên dưới một câu hỏi).

— Raphael

12

Trừ khi tôi thiếu một cái gì đó, nó không quan trọng bằng P vì độ dài của công thức là theo cấp số nhân của số lượng biến. Do đó tất cả $2^{n}$ bài tập thật có thể được tạo và kiểm tra trong thời gian đa thức theo độ dài của công thức.

— Luke Mathieson
nguồn

Nhưng một

2^{n}

$2^n$ kiểm tra vẫn được xác định là thời gian plynoimal?

— Tử số

4

Hãy nhớ rằng để ở P, bạn muốn một thuật toán chạy trong thời gian đa thức theo kích thước của đầu vào. Trong trường hợp này, nếu chúng ta biểu thị kích thước của đầu vào là N, chúng ta biết rằng

#clauses \leq N

$\text{#clauses } \leq N$ . Do đó chúng ta cũng có

n = O (l o g N)

$n=O(log N)$ nên

2^{n}

$2^n$ bài tập chỉ có giá trị cho một đa thức trong kích thước đầu vào tổng thể

N

$N$ . Đừng để văn bản lừa bạn khi họ sử dụng biến

n

$n$ , nó chỉ là một biến số, không phải là một con số ma thuật đặc biệt luôn là thước đo tốt nhất cho kích thước của đầu vào. Xin lỗi về định dạng, tôi đang gõ cái này trên điện thoại của tôi.

— Luke Mathieson

@ Số người: bạn đang làm

2^{\log n} = n

$2^{\log n}=n$ kiểm tra, ở đâu

n

$n$ là chiều dài của đầu vào.

— Xodarap

6

Trong trường hợp này, câu trả lời là tầm thường như Luke chỉ ra . Tuy nhiên, vì dường như bạn đã tự đưa ra định nghĩa, hãy lưu ý điều này.

Đối với SAT, cái gọi là chuyển pha liên quan đến tỷ lệ đếm biến với số mệnh đề đã được quan sát [1,2]. Nếu nó nhỏ, các trường hợp dễ và khó nếu nó lớn. Dường như có một sự chuyển đổi ít nhiều sắc nét từ dễ đến khó. Đây dường như là một lĩnh vực hoạt động nghiên cứu . cstheory.SE có thêm một số hiện tượng này.

Vì vậy, nếu bạn điều chỉnh định nghĩa "dài" của bạn thành thổi đa thức , bạn thực sự có thể có được một lớp dễ dàng không tầm thường - nghĩa là, trong P - chỉ vì bạn có nhiều mệnh đề hơn các biến.

Chuyển đổi giai đoạn SAT của IP Gent (1994)
Xác định độ phức tạp tính toán từ 'chuyển pha' đặc trưng của R. Monasson, R. Zecchina et al. (1999)

— Raphael
nguồn

4

Trên thực tế, đó không phải là một mô hình dễ-khó mà khá dễ-khó-dễ liên quan đến quá trình chuyển pha. Có 2 khu vực: bị hạn chế và quá hạn chế. Trong phần đầu tiên, các giải pháp được phân phối dày đặc, do đó bạn thành công nhanh chóng. Trong lần thứ hai, bạn thất bại nhanh chóng: bất kỳ thuật toán hợp lý nào cũng tìm ra giải pháp nếu tồn tại (một sức hút mạnh mẽ) và nếu không có giải pháp nào thì thuật toán quay lui có thể thiết lập nhanh chóng vì các đường dẫn giải pháp tiềm năng bị cắt sớm. Các vấn đề khó nằm ở ranh giới của các khu vực này: xác suất của một giải pháp là thấp nhưng không đáng kể.

— Juho