Kết quả dài nhất lặp đi lặp lại (phân tán) trong một chuỗi

Báo cáo vấn đề không chính thức:

Đưa ra một chuỗi, ví dụ , chúng tôi muốn tô màu một số chữ cái màu đỏ và một số chữ cái màu xanh (và một số không hoàn toàn), sao cho chỉ đọc các chữ cái màu đỏ từ trái sang phải mang lại kết quả tương tự như chỉ đọc các chữ cái màu xanh.$ACCABBAB$

Trong ví dụ này, chúng ta có thể tô màu chúng như thế này:$A\color{blue}{C}\color{red}{CAB}B\color{blue}{AB}$

Do đó, chúng tôi nói là một chuỗi lặp lại của . Nó cũng là một chuỗi lặp lại dài nhất (dễ kiểm tra).$CAB$$ACCABBAB$

Chúng ta có thể tính toán các chuỗi lặp lại dài nhất một cách hiệu quả không?

Câu hỏi chính thức:

Có phải NP-khó quyết định cho một chuỗi và một số , liệu một chuỗi lặp lại có độ dài có tồn tại trong chuỗi không?$k$$k$

• Nếu vậy: Vấn đề nào có thể được giảm xuống cho vấn đề này?
• Nếu không: một thuật toán hiệu quả là gì? (rõ ràng, thuật toán này sau đó có thể được sử dụng để tính toán một chuỗi lặp lại dài nhất)

Câu hỏi thưởng:

Chúng sẽ luôn là một chuỗi lặp lại có độ dài nếu kích thước của bảng chữ cái được giới hạn bởi một hằng số?$n/2 - o(n)$

(Điều này được biết là đúng với bảng chữ cái nhị phân.)

Chỉnh sửa 2: Câu trả lời phủ định cho Câu hỏi Tiền thưởng đã được biết đến với bảng chữ cái có kích thước ít nhất là . Trong thực tế cho bảng chữ cái kích thước Σ , có dây với subsequences lặp đi lặp lại lâu nhất của một chiều dài chỉ O (n · Σ ^ {- 1/2}) . Chuỗi ngẫu nhiên đủ để hiển thị điều này. Kết quả đã tồn tại, nhưng tôi bỏ qua nó.$5$$Σ$$O(n · Σ^{-1/2})$

Chỉnh sửa: Lưu ý:

Một số người có nghĩa là "chuỗi con" khi họ nói "chuỗi". Tôi không. Đây không phải là vấn đề tìm kiếm một chuỗi hai lần.

Điều này có thể được giải quyết trong thời gian đa thứcbằng cách xây dựng một đồ thị trong đó mỗi nút đại diện cho một điểm trong một số chuỗi lặp lại của sao cho . Cạnh giữa các nút và có nghĩa là có thể được tiếp tục bởi để tạo thành một chuỗi lặp lại có độ dài 2.$G$S S [ i ] = S [ j ] u v u $(i,j)$$S$$S[i]=S[j]$$u$$v$$u$$v$

1. Tìm các nút. Điều này có thể được thực hiện trong thời gian bằng cách xây dựng một danh sách các chỉ số được sắp xếp cho mỗi ký tự , sau đó liệt kê các cặp duy nhất. Không có nhiều hơn nút.c m = n $O(n^2)$$c$$m=n^2$

2. Tìm các cạnh. Phải mất thời gian để kiểm tra xem nút có thể được tiếp tục bởi nút , vì vậy bằng cách xem xét tất cả các cặp , bước này mất thời gian .u v ( u , v ) O ( m 2$O(1)$$u$$v$$(u,v)$$O(m^2)$

3. Lưu ý rằng đường dẫn dài nhất trong có thể không phải là một chuỗi lặp lại hợp lệ. Hãy xem xét đường dẫn và . Nếu tồn tại cạnh thì là một chuỗi lặp lại hợp lệ có độ dài 3. Do đó, phải mất thời gian để tìm tất cả các chuỗi lặp lại có độ dài 3. Trong trường hợp chung, phải mất thời gian tuyến tính để kiểm tra xem hai đường dẫn hợp lệ có độ dài có thể được kết hợp thành một đường dẫn hợp lệ có độ dài .a b b c a c a b c O ( m 4 ) n n + $G$$ab$$bc$$ac$$abc$$O(m^4)$$n$$n+1$

4. Lặp lại bước 3 cho đến khi không thể tìm thấy đường dẫn nữa.