Các mối quan hệ tương đương bao gồm vấn đề (trong lý thuyết đồ thị)

Một mối quan hệ tương đương trên một tập đỉnh hữu hạn có thể được biểu diễn bằng một đồ thị vô hướng là sự kết hợp rời rạc của các cụm. Tập đỉnh biểu thị các phần tử và một cạnh biểu thị rằng hai phần tử là tương đương.

Nếu tôi có đồ thị và đồ thị , chúng tôi nói rằng được bao phủ bởi nếu tập hợp các cạnh của bằng với tập hợp các cạnh của . Các bộ cạnh của không cần phải rời rạc. Lưu ý rằng bất kỳ đồ thị vô hướng cũng có thể được bao phủ bởi một số hữu hạn các quan hệ tương đương (nghĩa là tách rời các liên kết của đồ thị clique). $G$ $G_1,\dots,G_k$ $G$ $G_1,\dots,G_k$ $G$ $G_1,\dots,G_k$ $G_1,\dots,G_k$ $G$

Tôi có một số câu hỏi:

Có thể nói gì về số lượng quan hệ tương đương tối thiểu cần có để bao trùm một biểu đồ ? $G$
Làm thế nào chúng ta có thể tính toán số lượng tối thiểu này?
Làm thế nào chúng ta có thể tính toán một bìa tối thiểu rõ ràng của , nghĩa là một tập hợp các quan hệ tương đương có kích thước là tối thiểu và bao gồm ? $G$ $G$
Vấn đề này có bất kỳ ứng dụng nào ngoài logic phân vùng ( logic kép của các tập con ) không?
Liệu vấn đề này có một tên được thiết lập tốt?

Với những hiểu lầm khác nhau được chỉ ra bởi các ý kiến, đây là một số hình ảnh để minh họa cho các khái niệm này. Nếu bạn có ý tưởng cho một thuật ngữ dễ hiểu hơn (thay vì "bao trùm", "quan hệ tương đương", "tách rời liên minh của các nhóm" và "không nhất thiết phải tách rời" liên kết các bộ cạnh), hãy cho tôi biết.

Dưới đây là hình ảnh của một biểu đồ và một mối quan hệ tương đương bao trùm nó: đồ thị và một quan hệ tương đương bao trùm nó

Dưới đây là hình ảnh của một biểu đồ và hai quan hệ tương đương bao trùm nó: đồ thị và hai quan hệ tương đương bao trùm nó
Điều khá rõ ràng là ít nhất hai quan hệ tương đương là bắt buộc.

Dưới đây là hình ảnh của một biểu đồ và ba mối quan hệ tương đương bao trùm nó: đồ thị và ba quan hệ tương đương bao gồm nó
Rõ ràng là ít nhất ba quan hệ tương đương là bắt buộc. Bổ đề 1.9 từ Dual of the Logic of subsets có thể được sử dụng để chỉ ra rằng điều này là đúng. Việc khái quát hóa bổ đề này cho các hoạt động nand với hơn hai đầu vào là động lực cho câu hỏi này.

algorithms graph-theory clique

— Thomas Klimpel
nguồn

Đây là một vấn đề NP-Complete nổi tiếng . vi.wikipedia.org/wiki/Clique_cover_pro

— Hiệu

@StephenBly Có thể đó là một vấn đề nổi tiếng, nhưng liên kết wikipedia bạn đưa ra không thực sự giúp tôi. Bài báo nói về một vấn đề bìa đỉnh, nhưng câu hỏi ở đây liên quan đến một vấn đề bìa cạnh. Cũng lưu ý rằng một mối quan hệ tương đương không phải là một cụm, mà là một sự kết hợp rời rạc của các bè phái.

— Thomas Klimpel

Bạn có ý nghĩa gì về một mối quan hệ tương đương là một liên minh không liên kết của các cửa hàng? Tập đỉnh biểu thị các phần tử và một cạnh biểu thị rằng hai phần tử là tương đương. Nếu đó không phải là đại diện bạn đang sử dụng thì bạn nên làm rõ.

— vườn

n - 1

$n-1$

n

$n$

n - 1

$n-1$

@YuvalFilmus Câu hỏi hỏi về số lượng quan hệ tương đương ít nhất có liên kết chính xác là quan hệ cạnh của đồ thị đã cho, không phải liên kết chỉ bao gồm đồ thị đã cho.

— David Richerby

Câu trả lời:

$\text{eq}(G)$ $\text{cc}(G)$

Có các lớp biểu đồ đặc biệt trong đó giá trị chính xác hoặc giới hạn trên tốt cho một trong hai số được biết đến. Nói chung, theo hiểu biết tốt nhất của tôi, giới hạn tốt nhất được đưa ra bởi Alon [1]:

{đăng nhập}_{2} n - {đăng nhập}_{2} d \leq phương trình (G) \leq cc (G) \leq 2 e^{2} (Δ + 1)^{2} \ln n,

$\log_2 n - \log_2 d \leq \text{eq}(G) \leq \text{cc}(G) \leq 2e^2 (\Delta+1)^2 \ln n,$

$\Delta$ $G$ $\lceil n^2/4 \rceil$

$\sf NP$ $\text{eq}(G)$ $\sf NP$

[1] Alon, Noga. "Bao gồm các biểu đồ bằng số lượng quan hệ tương đương tối thiểu." Kết hợp 6.3 (1986): 201-206.

[2] Blokhuis, Aart và Ton Kloks. "Về sự tương đương bao gồm số lượng các biểu đồ." Thư xử lý thông tin 54,5 (1995): 301-304.

[3] Kučera, Luděk, Jaroslav Nešetřil và Aleš Pultr. "Độ phức tạp của kích thước ba và một số đặc điểm bao phủ cạnh liên quan của đồ thị." Khoa học máy tính lý thuyết 11.1 (1980): 93-106.

— Juho
nguồn

Hệ quả 1.3 từ [1] chính xác là những gì tôi cần (trong phiên bản áp dụng cho phần bổ sung của đường dẫn). Bây giờ tôi không còn lý do gì để không viết bài báo về hàm ý chung "(A, B, C, ...) ngụ ý (Z, Y, X, ...)" (trình tự từ phép tính liên tiếp) trong phân vùng logic và logic phi cổ điển tương tự. Nhưng tôi đoán tôi sẽ không viết nó trong ít nhất nửa năm nữa. Và có lẽ tôi thậm chí còn tìm thấy một cái cớ mới trong lúc này.

— Thomas Klimpel

@ThomasKlimpel Thật tuyệt! (Không phải thực tế là bạn có thể tìm thấy một lý do mới, nhưng điều này rất hữu ích :-))

— Juho

Mặc dù tôi không biết tên cho vấn đề như vậy, tôi có thể chỉ ra vấn đề này là NP-hard.

Đối với đồ thị tam giác tự do, tất cả các lớp tương đương phải phù hợp. Số lượng tối thiểu của các lớp tương đương bao trùm biểu đồ bằng chỉ số màu sắc của biểu đồ.

Theo bài viết này , việc tìm chỉ số màu cho đồ thị tam giác tự do là NP-đầy đủ.

— Chao Xu
nguồn