Giảm đa thức từ bất kỳ vấn đề hoàn thành NP nào sang PCP bị ràng buộc

Sách giáo khoa ở khắp mọi nơi cho rằng Vấn đề tương ứng bài bị ràng buộc là hoàn thành NP (không quá $N$ chỉ số được phép với sự lặp lại). Tuy nhiên, không nơi nào thể hiện một cách đơn giản (như trong, một điều mà một sinh viên chưa tốt nghiệp có thể hiểu được) giảm thời gian đa thức từ một vấn đề hoàn thành NP khác.

Tuy nhiên, mọi mức giảm tôi có thể nghĩ là theo cấp số nhân (theo $N$ hoặc theo kích thước của chuỗi) trong thời gian chạy. Có lẽ nó có thể được chỉ ra rằng nó có thể giảm SAT?

Như thường thấy với việc giảm NP, việc tìm kiếm các vấn đề tương tự cũng có ý nghĩa . Đặc biệt, rất khó để mã hóa các điều kiện toàn cầu như "đã thấy một số nút" vào PCP (với nhiều ô đa thức) chống lại các vấn đề về đồ thị, các vấn đề về đóng gói sẽ yêu cầu chúng ta mã hóa các số đơn vị trong PCP (tạo ra số lớn theo cấp số nhân) và Sớm. Do đó, một vấn đề chuỗi chỉ với các hạn chế cục bộ có thể được dự kiến ​​sẽ hoạt động tốt nhất.

Xem xét phiên bản quyết định của vấn đề siêu phổ biến ngắn nhất :

Cho hai dây với | một | = n và | b | = M và k ∈ N , quyết định liệu có là một chuỗi c ∈ Σ + với | c | ≤ k sao cho a và b là các phần sau của c .$a,b \in \Sigma^+$$|a|=n$$|b|=m$$k \in \mathbb{N}$$c \in \Sigma^+$$|c| \leq k$$a$$b$$c$

Ý tưởng là để cho PCP xây dựng các siêu kết quả của và b từ trái sang phải, mã hóa trong các lớp phủ của gạch ở vị trí chúng ta đang ở vị trí a và b , tương ứng. Nó sẽ sử dụng một ô cho mỗi ký hiệu trong c , vì vậy k tương ứng với ràng buộc của BPCP: nếu chúng ta có thể giải quyết BSC này bằng các ô ≤ k , bạn có thể đọc được kết quả chung có độ dài bằng nhau và ngược lại.$a$$b$$a$$b$$c$$k$$\leq k$

Việc xây dựng gạch có một chút tẻ nhạt, nhưng khá rõ ràng. Lưu ý rằng chúng tôi sẽ không tạo các ô không chuyển tiếp hoặc b ; như vậy không bao giờ có thể là một phần của một siêu hậu quả chung ngắn nhất , vì vậy chúng là không cần thiết. Chúng có thể dễ dàng được thêm vào mà không phá vỡ các thuộc tính của giảm.$a$$b$

Những con số trong sự chồng chéo được mã hóa trong hệ nhị phân, nhưng sử dụng những biểu tượng bên ngoài của và đệm chúng vào một chiều dài chung log tối đa ( m , n ) . Do đó, chúng tôi đảm bảo rằng các ô được sử dụng làm đề xuất đồ họa (tetris), đó là các ký tự và chồng chéo mã hóa chỉ mục không trộn lẫn (PCP không ngăn chặn điều này theo từng se). Chúng tôi cần:$\Sigma$$\log \max(m,n)$

• Bắt đầu từ gạch: có thể bắt đầu với một 1 , b 1 hoặc cả hai nếu họ đều bình đẳng.$c$$a_1$$b_1$
• Gạch trung gian: có thể tiến hành ký hiệu tiếp theo trong a , trong b hoặc cả hai nếu chúng bằng nhau.$c$$a$$b$
• Chấm dứt gạch: kết thúc bằng ký hiệu cuối cùng của a (nếu đã thấy dấu cuối cùng của b ), tương tự với b hoặc bằng ký hiệu cuối cùng của cả hai.$c$$a$$b$$b$

Đây là sơ đồ gạch. Lưu ý rằng các ô trung gian phải được khởi tạo cho tất cả các cặp . Như đã đề cập ở trên, tạo các ô mà không có ∗ chỉ khi các ký tự tương ứng trong a và b khớp.$(i,j) \in [n]\times [m]$$*$$a$$b$

^{[ nguồn ]}

các $*$ là biểu tượng cho "không quan tâm"; trong các ô thực tế, biểu tượng khác sẽ phải được sao chép ở đó. Lưu ý rằng số lượng gạch là và mỗi gạch có chiều dài 4 log tối đa ( m , n ) + 1 , vì vậy các trường hợp BPCP xây dựng (trên bảng chữ cái Σ ∪ { 0 , 1 $\Theta(mn)$$4\log \max(m,n) + 1$$\Sigma \cup \{0,1\}$cộng các ký hiệu phân tách) có kích thước đa thức. Hơn nữa, việc xây dựng mỗi gạch rõ ràng là có thể trong thời gian đa thức. Do đó, việc giảm đề xuất thực sự là một phép biến đổi đa thức hợp lệ làm giảm vấn đề siêu hậu quả chung ngắn nhất hoàn thành NP đối với BPCP.

Tôi nghĩ rằng bạn có thể chứng minh rằng BPCP hoàn thành NP bằng cách sử dụng mức giảm tương tự như mức giảm được sử dụng để chứng minh tính không ổn định của nó. Chúng tôi sẽ trực tiếp chứng minh rằng BPCP là NP hoàn chỉnh bằng cách hiển thị cách giảm bất kỳ vấn đề nào trong NP trong thời gian đa thức.

Việc giảm tiêu chuẩn được sử dụng để chứng minh rằng PCP là không thể giải quyết được ( phác thảo ở đây ) hoạt động bằng cách xây dựng một loạt các gạch sao cho có một giải pháp PCP nếu có một tính toán chấp nhận của một TM cho trên một chuỗi w . Số lượng gạch được tạo ra trong phần giảm này là lớn về mặt đa thức - cụ thể, số lượng domino được xây dựng là một số chức năng của kích thước của bảng chữ cái băng và số trạng thái trong TM. Domino duy nhất có kích thước có thể lớn là domino ban đầu, có $M$$w$$w$viết trên đó. Nếu chúng ta khái quát việc giảm này từ làm việc trên các TM xác định sang làm việc trên các TM không xác định, thì điều này sẽ giới thiệu nhiều nhất một số lượng domino không đổi, vì số lượng chuyển đổi là hữu hạn. Do đó, chúng ta có thể xây dựng bộ domino tiêu chuẩn để giảm tính không ổn định thông thường trong thời gian đa thức.

Vì điều này, chúng ta có thể giảm bất kỳ vấn đề NP nào xuống BPCP như sau - với bất kỳ vấn đề NP nào, nó có một số NTM thời gian đa thức chạy trong thời gian p ( n ) . Sau đó chúng ta có thể giảm vấn đề này xuống BPCP trong thời gian đa thức như sau - xây dựng bộ domino tiêu chuẩn từ $M$$p(n)$$M$ , sau đó hỏi xem có giải pháp nào sử dụng domino , trong đó f là một hàm đa thức biểu thị số lượng domino cần thiết cho giải pháp tồn tại (đây có thể là một cái gì đó giống như n $f(p(n))$$f$$n^2$, và chắc chắn là không theo cấp số nhân). Sau đó, bằng cách sử dụng cùng một bằng chứng bạn sử dụng để chứng minh rằng PCP là không thể giải quyết được, bạn có thể chứng minh rằng có một giải pháp cho trường hợp BPCP này sử dụng tối đa các gạch nếu NTM M ban đầu chấp nhận m trong p ( n ) các bước. Do đó, chúng tôi đã giảm thời gian đa thức từ mọi vấn đề trong NP sang BPCP, vì vậy BPCP là NP-hard.$f(p(n))$$M$$m$$p(n)$

(Chúng ta cũng nên chỉ ra rằng BPCP nằm trong NP, nhưng điều đó thật dễ dàng; chỉ cần đoán một cách không nhất định những thứ nào sẽ được sắp xếp theo thứ tự, sau đó xác định một cách xác định).

Hi vọng điêu nay co ich!