Tính toán số bit của một số nguyên lớn

Cho hai số nguyên và trong biểu diễn nhị phân, độ phức tạp của việc tính toán kích thước bit của gì?n x $x$$n$$x^n$

Một cách để làm như vậy là tính toán bằng cách tính xấp xỉ với độ chính xác đủ. Dường như tính toán với bit của các phần tử có thể được thực hiện trong trong đó là thời gian cần thiết để tính tích của hai số nguyên có độ dài . Điều này mang lại một thuật toán (không đặc biệt đơn giản) có độ phức tạp xấp xỉ nếu bị ràng buộc trên kích thước bit của cả và (nếu tôi không có lỗi).log 2 ( x ) log 2 ( x ) k O ( M ( k ) log k ) M ( k ) k O ( s log 2 s ) s x $1+\lfloor \log_2(x^n)\rfloor=1+\lfloor n\log_2(x)\rfloor$$\log_2(x)$$\log_2(x)$$k$$O(M(k)\log k)$$M(k)$$k$$O(s\log^2 s)$$s$$x$$n$

Chúng ta có thể đánh bại trong đó là kích thước của và (trong trường hợp chúng có kích thước tương đương) không? Có một thuật toán đơn giản để có được sự phức tạp này hoặc tốt hơn?$O(s\log^2(s))$$s$$x$$n$

Lưu ý: Tôi quan tâm đến sự phức tạp trong một mô hình lý thuyết như máy Turing.

[sửa] Theo đề xuất, tôi chỉnh sửa câu trả lời của mình để biết thêm chi tiết.

Câu trả lời cho câu hỏi thứ hai của tôi là không :

Dự luật. Tính toán cho đến độ chính xác k ít nhất cũng khó như tính toán kích thước bit của x 2 k .$\log(x)$$k$$x^{2^k}$

Bằng chứng. Hãy để biểu thị kích thước bit của một số nguyên y . Thông báo đầu tiên cho một số nguyên không âm y , bit-kích thước của y là 1 + ⌊ log y ⌋ .$|y|$$y$$y$$y$$1+\lfloor \log y\rfloor$

Như vậy, . Bây giờ 2 k log ( x ) là log ( x ) dịch chuyển vị trí k sang trái. Do đó, người ta có thể tính log ( x ) thành độ chính xác k bằng cách trừ 1 đến kích thước bit của x 2 k và dịch chuyển vị trí k kết quả sang phải.$\left|x^{2^k}\right| = 1+\lfloor 2^k\log x\rfloor$$2^k\log(x)$$\log(x)$$k$$\log(x)$$k$$1$$x^{2^k}$$k$