Hiệu quả tìm GCD cặp đôi tối đa của một tập hợp các số tự nhiên

Hãy xem xét vấn đề sau:

Đặt là tập con hữu hạn của các số tự nhiên.$S = \{ s_1, s_2, ... s_n \}$

Đặt g c d ( s i , s j ) | s i , s j ∈ S , s i ≠ s j } trong đó g c d ( x , y ) là ước số chung lớn nhất của x và $G = \{$ $gcd(s_i, s_j)$$s_i, s_j \in S,$ $s_i \neq s_j \}$$gcd(x,y)$$x$$y$

Tìm các yếu tố tối đa của .$G$

Vấn đề này có thể được giải quyết bằng cách lấy ước số chung lớn nhất của mỗi cặp bằng thuật toán của Euclid và theo dõi số lớn nhất.

Có cách nào hiệu quả hơn để giải quyết điều này?

Đây là một thuật toán hiệu quả (bằng Python ). Vui lòng tìm lời giải thích dưới đây.

def max_gcd_pair(S):
    # Assumption 1: S is the list of numbers
    # Assumption 2: There are no duplicates in S

    s = set(S)
    m = max(S)

    res = 0
    i = m

    while(i > 0):
        a = i
        cnt = 0
        while (a<=m): # a maxed at max of the list
            if a in s:   
               cnt += 1
            a += i

        if cnt >= 2:  # we have found the result
            res = i
            break

        i = i -1 

    return res

Giải thích về đoạn mã trên:

Chúng tôi quan sát những điều sau đây trong vấn đề này:

1. Kết quả không thể nhiều hơn max(S)
2. Kết quả là một số, có hai hoặc nhiều bội số trong danh sách này S
3. Trong thực tế, kết quả là maxcủa tất cả các số như vậy với tài sản được đề cập ở trên.

Với những quan sát này, chương trình thực hiện như sau:

1. Tạo một setdanh sách. Vì bộ có thể được tìm kiếm hiệu quả trongO(log(n))
2. Tìm max của danh sách và lưu nó trong biến m.
3. Bắt đầu từ mđến 1, tìm ra số đầu tiên có hai hoặc nhiều hơn bội trong bộ này. Con số đầu tiên được tìm thấy là kết quả.

Tôi hy vọng điều này là rõ ràng. Xin vui lòng cho tôi biết nếu bạn cần một lời giải thích chi tiết hơn.