Tổng số các điều khoản của Landau được xem xét lại

Tôi đã hỏi một câu hỏi (hạt giống) về các khoản tiền của Landau trước đây , cố gắng đánh giá sự nguy hiểm của việc lạm dụng ký hiệu tiệm cận trong mỹ phẩm, với thành công hỗn hợp.

Bây giờ, ở đây, guru tái phát của chúng tôi JeffE thực hiện điều này:

$\qquad \displaystyle \sum_{i=1}^n \Theta\left(\frac{1}{i}\right) = \Theta(H_n)$

Trong khi kết quả cuối cùng là chính xác, tôi nghĩ rằng điều này là sai. Tại sao? Nếu chúng ta thêm vào tất cả sự tồn tại của hằng số ngụ ý (chỉ giới hạn trên), chúng ta có

$\qquad \displaystyle \sum_{i=1}^n c_i \cdot \frac{1}{i} \leq c \cdot H_n$ .

Bây giờ làm thế nào để chúng ta tính từ ? Câu trả lời là, tôi tin rằng chúng ta không thể: phải ràng buộc cho tất cả nhưng chúng ta sẽ có thêm khi phát triển. Chúng tôi không biết gì về họ; rất có thể phụ thuộc vào , vì vậy chúng ta không thể giả sử ràng buộc: một hữu hạn có thể không tồn tại. $c$ $c_1, \dots, c_n$ $c$ $n$ $c_i$ $n$ $c_i$ $i$ $c$

Ngoài ra, có một vấn đề tinh tế về biến nào sẽ biến thành vô cực ở phía bên trái - hay ? Cả hai? Nếu (vì mục đích tương thích), ý nghĩa của , biết rằng gì? Nó không chỉ có nghĩa là ? Nếu vậy, chúng ta không thể ràng buộc tổng số tốt hơn . $i$ $n$ $n$ $\Theta(1/i)$ $1 \leq i \leq n$ $\Theta(1)$ $\Theta(n)$

Vì vậy, nơi mà để lại cho chúng tôi? Đó là một sai lầm trắng trợn? Một người tinh tế? Hay đó chỉ là sự lạm dụng ký hiệu thông thường và chúng ta không nên xem xét các dấu hiệu như thế này ngoài ngữ cảnh? Chúng ta có thể xây dựng một quy tắc đúng (nghiêm ngặt) để đánh giá các khoản tiền (nhất định) của các điều khoản Landau không? $=$

Tôi nghĩ rằng câu hỏi chính là: là gì? Nếu chúng ta xem xét nó không đổi (vì nó nằm trong phạm vi của tổng), chúng ta có thể dễ dàng xây dựng các mẫu phản. Nếu nó không phải là hằng số, tôi không biết làm thế nào để đọc nó. $i$

terminology asymptotics landau-notation

— Raphael
nguồn

Câu hỏi này về math.SE là một bài đọc tốt về mỹ phẩm với các thuật ngữ Landau nói chung.

— Raphael

Từ liên kết bạn đã đưa ra, đẳng thức có thể được xem là mối quan hệ tập hợp con hoặc quan hệ "nằm trong" (tức là ). Đối với bạn chỉ cần nói rằng nó bị chặn ở trên và dưới bởi một hằng số. Tại sao không chọn và ?

\in

$\in$

Θ

$\Theta$

c = min (c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n})

$c = \min(c_1, c_2, \cdots, c_n)$

C = max (c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n})

$C = \max(c_1, c_2, \cdots, c_n)$

— dùng834

Đợi đấy, Bucky. Tôi đã không viết bất kỳ tổng kết với một Theta trong đó. Tôi đã viết một sự tái phát với một Theta trong đó. Bạn có thực sự diễn giải sự tái diễn " " như một thứ khác ngoài "Có một hàm sao cho "?

t (n) = Θ (1 / n) + t (n - 1)

$t(n) = \Theta(1/n) + t(n-1)$

f \in Θ_{x \to \infty} (x \mapsto 1 / x)

$f \in \Theta_{x\to \infty}(x\mapsto 1/x)$

t (n) = f (n) + t (n - 1)

$t(n) = f(n) + t(n-1)$

— JeffE

@Raphael Không, sự tái phát không phải là về mặt toán học giống như tổng, vì chính xác lý do bạn mô tả! Sự lặp lại có chính xác một thuật ngữ Theta trong đó, rõ ràng đề cập đến một chức năng duy nhất.

— JeffE

Điều đó không trực quan lắm - tôi hoàn toàn không đồng ý, nhưng tôi nghĩ đó là vấn đề về hương vị và kinh nghiệm.

— JeffE

Câu trả lời:

Có vẻ đúng với tôi trong các quy ước sau:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \Theta(1/k)$ là ký hiệu thuận tiện cho

Có một (dưới dạng ) sao cho $f(x) \in \Theta(1/x)$ $x \to \infty$

$S_n = \sum_{k=1}^{n} f(k)$ .

Do đó, (hoặc với ký hiệu trong câu trả lời này ) bạn nhận được, không thực sự phụ thuộc vào . $c_i$ $c_k$ $k$

Theo cách giải thích này, thực sự đúng là . $S_n = \Theta(H_n)$

Trên thực tế, trong câu trả lời của Jeff, anh ta cho thấy trong đó , vì vậy nó phù hợp với cách giải thích ở trên. $T(k+1) = f(k) + T(k)$ $f \in \Theta(1/k)$

Sự nhầm lẫn dường như xuất phát từ việc "không kiểm soát" tinh thần và giả định các chức năng khác nhau cho mỗi lần xuất hiện của ... $\sum$ $\Theta$

— Aryabhata
nguồn

Jup, nhưng mỗi có thể có chức năng riêng và không đổi. Vì vậy, quy ước này chỉ hoạt động với bối cảnh, đó là nếu chúng ta biết rằng các điều khoản Landau bắt nguồn từ một định nghĩa hơi "thống nhất" (tính theo và ) của các triệu hồi.

Θ

$\Theta$

k

$k$

n

$n$

— Raphael

@Raphael: Có vẻ như vô nghĩa khi hủy đăng ký và sau đó cho phép các khác nhau : các hằng số sau đó sẽ phụ thuộc vào biến! và nó trở thành cách sử dụng không chính xác của , giả sử biến là (hoặc trong câu trả lời ở trên). Ngay cả khi chúng ta giả sử biến là , nó vẫn có vẻ vô nghĩa đối với tôi.

f_{i}

$f_i$

Θ

$\Theta$

Θ

$\Theta$

i

$i$

k

$k$

n

$n$

— Aryabhata

Về nguyên tắc, mỗi có thể có liên tục riêng của mình, nhưng trong bối cảnh đặc biệt mà bạn mô tả , thì rõ ràng rằng mỗi nào không có liên tục riêng của mình.

Θ

$\Theta$

Θ

$\Theta$

— JeffE

@JeffE: Phải. Chúng ta có thể có nhiều với các hằng số của riêng mình, miễn là các hằng số thực sự không đổi :-)

Θ

$\Theta$

— Aryabhata

@JeffE Vậy tại sao bạn không viết những gì bạn muốn nói mà lại thích một cái gì đó mơ hồ / sai? Lưu ý rằng câu trả lời cập nhật của tôi bây giờ đề xuất một cách để làm như vậy. Tôi đánh giá cao ý kiến về điều đó; downvote không có lý do không giúp tôi hiểu lý do tại sao mọi người dường như từ chối quan điểm của tôi.

— Raphael

Tôi nghĩ rằng tôi đóng đinh vấn đề xuống. Về bản chất: sử dụng thuật ngữ Landau tách riêng biến của hàm triệu hồi từ biến đang chạy của tổng. Tuy nhiên, chúng tôi vẫn (muốn) đọc chúng giống hệt nhau, do đó, sự nhầm lẫn.

Để phát triển nó một cách chính thức, cần gì

$\qquad \displaystyle S_n \in \sum_{i=1}^n \Theta(f(i)) \qquad \qquad\qquad (1)$

thực sự có nghĩa? Bây giờ tôi giả sử rằng những cho phép - không phải - đến vô cùng; nếu chúng ta để , mọi tổng như vậy ước tính là (nếu các triệu hồi không phụ thuộc vào và do đó không đổi) rõ ràng là sai. Đây là một tặng phẩm đầu tiên mà chúng ta cho những điều thô thiển: bị ràng buộc (và không đổi) bên trong tổng, nhưng chúng ta vẫn để nó đi đến vô tận? $\Theta$ $i$ $n$ $n \to \infty$ $\Theta(n)$ $n$ $i$

Dịch (đối với giới hạn trên, giới hạn dưới hoạt động tương tự), chúng tôi nhận được $(1)$

$\qquad \displaystyle \exists f_1, \dots, f_n \in \Theta(f).\ S_n \leq \sum_{i=1}^n f_i(i)$

Bây giờ rõ ràng là các tóm và parameter- được tách riêng: chúng ta có thể dễ dàng xác định các để họ sử dụng như một hằng số. Trong ví dụ từ câu hỏi, chúng ta có thể định nghĩa và có $i$ $i$ $f_i$ $i$ $f_i(j) = i \cdot \frac{1}{j} \in \Theta(1/j)$

$\qquad \displaystyle \sum_{i=0}^n f_i(i) "=" \sum_{i=0}^n \Theta(1/j) = \sum_{i=0}^n \Theta(1/i)$

nhưng tổng ban đầu rõ ràng không đánh giá một cái gì đó trong . Bây giờ trao đổi cho - chỉ là đổi tên - trong có thể cảm thấy lạ vì không độc lập với resp. tổng, nhưng nếu chúng ta phản đối điều đó ngay bây giờ , chúng ta không bao giờ nên sử dụng bên trong ở vị trí đầu tiên (vì điều đó có cùng một sự kỳ lạ). $\Theta(H_n) = \Theta(\log n)$ $j$ $i$ $\Theta$ $i$ $n$ $i$ $\Theta$

Lưu ý rằng chúng tôi thậm chí không khai thác rằng cũng có thể phụ thuộc vào . $f_i$ $n$

Để kết luận, danh tính đề xuất là không có thật. Tất nhiên chúng ta có thể đồng ý về các quy ước về cách đọc các khoản tiền như viết tắt của tính toán nghiêm ngặt. Tuy nhiên, các quy ước như vậy sẽ không phù hợp với định nghĩa của các điều khoản Landau (cùng với việc lạm dụng chúng thông thường), không thể hiểu chính xác nếu không có ngữ cảnh và gây hiểu lầm (cho người mới bắt đầu) - nhưng cuối cùng đó là vấn đề của hương vị (và tàn nhẫn ?).

Tôi nhận ra rằng chúng ta cũng có thể viết chính xác những gì chúng ta muốn nói và vẫn sử dụng sự tiện lợi của các điều khoản Landau. Chúng tôi biết rằng tất cả các triệu hồi đều đến từ một chức năng chung, ngụ ý rằng các giới hạn tiệm cận sử dụng cùng một hằng số. Điều này bị mất khi chúng ta đặt vào tổng. Vì vậy, chúng ta không đặt nó ở đó và viết $\Theta$

$\qquad \displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{2i - 1}{i(i+1)} \in \Theta\left(\sum_{i=1}^n \frac{1}{i}\right) = \Theta(H_n)$

thay thế. Đặt bên ngoài tổng kết quả trong $\Theta$

một tuyên bố đúng về mặt toán học và
một thuật ngữ đơn giản bên trong các chúng ta có thể dễ dàng đối phó với (đó là những gì chúng tôi muốn ở đây, phải không?). $\Theta$

Vì vậy, dường như đây là một cách chính xác và hữu ích để viết ra vấn đề, và do đó nên được ưu tiên hơn là sử dụng các biểu tượng Landau bên trong tổng khi chúng ta nói chúng bên ngoài nó.

— Raphael
nguồn

Hãy xem xét . Tôi có thể định nghĩa (sử dụng là hằng số), do đó theo lý luận của bạn, phải không? Nhưng tổng này là .

\sum_{i}^{n} i

$\sum_i^n i$

f_{i} (n) = i

$f_i(n)=i$

i

$i$

\sum_{i}^{n} i = \sum_{i}^{n} O (1) = O (n)

$\sum_i^n i = \sum_i^n O(1) = O(n)$

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Xodarap

@Xodarap: Bằng cách lập luận của tôi, bị sụp đổ tổng như thế này không làm việc, vì ghép khu vực nội s (mà không được cùng với cũng không ) để không thay đổi ý nghĩa.

Θ

$\Theta$

i

$i$

n

$n$

n

$n$

— Raphael

Tôi không ghép chúng với , tôi chỉ sử dụng thực tế là . (Và tôi cũng cho rằng thực tế là .)

n

$n$

\sum_{i}^{n} k = n k

$\sum_i^n k = nk$

n O (f) = O (n f)

$nO(f)=O(nf)$

— Xodarap

@Xodarap: Nhưng bạn không có một , nhưng một mỗi lần triệu hồi. Nếu các hàm cơ bản sử dụng (như một yếu tố không đổi), bạn phải mở rộng điều đó và tổng kết thúc là chính xác. Vì vậy, rõ ràng, theo lý luận của tôi, quy tắc tổng hợp mà bạn đề xuất không hoạt động như bạn viết.

f

$f$

f_{i}

$f_i$

f_{i}

$f_i$

i

$i$

— Raphael

Nếu tôi có một chuỗi , thì mỗi này là (miễn là chúng không tăng khi chuỗi tiến triển). Bạn có nói rằng thêm trong số chúng sẽ tạo ra tổng không? Có gì khác biệt nếu thay vì là hằng số, tôi mô tả chúng là các hàm hằng ?

5, 1, 3, 2, \dots

$5,1,3,2,\dots$

O (1)

$O(1)$

n

$n$

O (n)

$O(n)$

f_{1} (x) = 5, f_{2} (x) = 1, \dots

$f_1(x)=5,f_2(x)=1,\dots$

— Xodarap

-1

Nếu mỗi là một hằng số, thì có một số sao cho . Vì vậy, rõ ràng Ý tưởng tương tự cho ít o. $c_i$ $c_{max}$ $\forall c_i: c_i\leq c_{max}$

\sum c_{i} f (i) \leq \sum c_{m a x} f (i) = c_{m a x} \sum f (i) = O (\sum f (i))

$\sum c_i f(i) \leq \sum c_{max} f(i) = c_{max} \sum f(i) = O\left(\sum f(i)\right)$

Tôi nghĩ vấn đề ở đây là . Đó là (vì không có sao cho ), vì vậy tổng tiền sẽ là . Và mỗi thuật ngữ là , có nghĩa là tổng tiền là . Vì vậy, không có giới hạn chặt chẽ có thể được tìm thấy từ phương pháp này. $1/i\not=\Theta(1)$ $o(1/n)$ $\epsilon$ $\forall i: 1/i>\epsilon$ $no(1/n)=o(1)$ $O(1)$ $O(n)$

Tôi nghĩ câu hỏi của bạn là:

Được giới hạn bằng cách thực hiện o nhỏ của mỗi thuật ngữ và o lớn của mỗi thuật ngữ sau đó nhân với có thể chấp nhận không? (Trả lời có) $\sum_i^n f(i)$ $n$
Có một phương pháp tốt hơn? (Trả lời: Không phải tôi biết.)

Hy vọng người khác có thể trả lời # 2 rõ ràng hơn.

EDIT: Nhìn lại câu hỏi của bạn, tôi nghĩ bạn đang hỏi

$\sum_i^n \Theta(f(n)) = \Theta(nf(n))$ ?

Câu trả lời là có. Trong trường hợp này, mỗi thuật ngữ không phải là của bất cứ điều gì, vì vậy cách tiếp cận đó sụp đổ. $\Theta$

EDIT 2: Bạn nói "xem xét , sau đó không có ". Hoàn toàn đúng. Nếu bạn nói rằng là hàm không hằng của , thì theo định nghĩa, nó không phải là hằng số. $c_i=i$ $c_{max}$ $c_i$ $i$

Lưu ý rằng nếu bạn xác định nó theo cách này, thì không phải là , đó là . Thật vậy, nếu bạn định nghĩa "hằng" có nghĩa là "bất kỳ chức năng nào của ", thì bất kỳ hai chức năng nào của khác nhau bởi một "hằng số"! $c_i i$ $\Theta(i)$ $\Theta(i^2)$ $i$ $i$

Có lẽ đây là một cách dễ dàng hơn để nghĩ về nó: chúng ta có chuỗi . Thuật ngữ nhỏ nhất trong chuỗi này là gì? Vâng, nó sẽ phụ thuộc vào . Vì vậy, chúng tôi không thể coi các điều khoản là hằng số. $1,\frac{1}{2},\dots,\frac{1}{n}$ $n$

(Các nhà khoa học máy tính thường quen thuộc hơn với big-O, vì vậy có thể trực quan hơn khi hỏi liệu có thuật ngữ lớn nhất không đổi.) $1,\dots,n$

Để cung cấp bằng chứng của bạn: hãy để là giá trị nhỏ nhất của trong phạm vi . Sau đó $f(i_{min})$ $f(i)$ $1,\dots,n$

\sum_{i}^{n} f (i) \geq \sum_{i}^{n} f (i_{m i n}) = n f (i_{m i n}) = n o (f (n))

$\sum_i^n f(i) \geq \sum_i^n f(i_{min}) = n f(i_{min}) = n o(f(n))$

Một bằng chứng tương tự có thể được thực hiện cho giới hạn trên.

Cuối cùng, bạn viết rằng và làm bằng chứng cho rằng . Trên thực tế, đây là một bằng chứng chống lại: nếu "lớn hơn" , thì nó không thể "nhỏ hơn" so với , đó là những gì bắt buộc để nó là . Vì vậy, nó không thể là . $H_n = o(n)$ $H_n = \Theta(\log n)$ $H_n$ $n$ $\log n$ $\Theta(\log n)$ $o(n)$

— Xodarap
nguồn

1) ".. có một số sao cho ..." - không, không có. Hãy xem xét với . 2) "Tôi không nghĩ " - 3) . Đó là - Điều đó sai. Là , . 4) "(Trả lời: Có)" - miễn là tôi không thấy bằng chứng chính thức về thực tế đó, tôi không tin điều đó. Bên cạnh đó, "nhân với " không phải là điều đã xảy ra trong trường hợp được trưng bày.

c_{m a x}

$c_{max}$

(c_{i})_{i \in N}

$(c_i)_{i \in \mathbb{N}}$

c_{i} = i

$c_i = i$

H_{n} = o (n)

$H_n=o(n)$

H_{n} \in Θ (\ln n)

$H_n \in \Theta(\ln n)$

1 / i \neq Θ (1)

$1/i\not=\Theta(1)$

o (1 / n)

$o(1/n)$

1 / i \geq 1 / n

$1/i \geq 1/n$

1 / i \in Ω (1 / n)

$1/i \in \Omega(1/n)$

n

$n$

— Raphael

Tôi nghĩ rằng bạn đang bị mất điểm. Bằng chứng của bạn không hoạt động bởi vì chúng tôi có thể không có cùng một trong mỗi triệu tập và thậm chí không giống nhau cho cùng một triệu tập nhưng khác . Tôi nghĩ rằng tôi đóng đinh nó xuống; Tôi sẽ soạn một câu trả lời ngay.

f

$f$

n

$n$

— Raphael

Tôi vẫn không hiểu bạn đang nói gì, vì vậy tôi rất vui vì bạn đã hiểu ra :-)

— Xodarap