Phát hiện đồng phẳng bằng khoảng cách cặp đôi

Hãy xem xét một đồ thị có trọng số vô hướng , trong đó V \ subset \ mathbb {R} ^ 3 để các điểm là 3D và trọng số của một cạnh bằng khoảng cách (Euclide) giữa các điểm cuối của nó. Lưu ý rằng chúng ta không được cung cấp tọa độ của các điểm trong V. Chúng ta thậm chí có thể không được cung cấp tất cả các khoảng cách theo cặp, do đó đồ thị không cần phải hoàn thành và thậm chí có thể còn thưa thớt.$G = (V,E)$$V \subset \mathbb{R}^3$

Giả sử chúng ta đã cho $k$ và nói rằng có $k$ mặt phẳng sao cho tất cả các đỉnh thuộc về ít nhất một trong các mặt phẳng đó. Chúng tôi muốn tìm $k$ máy bay như vậy, với một hạn chế bổ sung:

Để xác định xem 4 điểm có phải là đồng phẳng chỉ với khoảng cách theo cặp của chúng hay không, phương pháp đơn giản nhất là sử dụng định thức Cayley-Menger . Đối với vấn đề của chúng tôi, điều này sẽ đòi hỏi đồ thị phải khá dày đặc, vì chúng tôi cần biết hầu hết các khoảng cách theo cặp để áp dụng Cayley-Menger. Hạn chế là tìm $k$ máy bay mà không sử dụng định thức Cayley-Menger.

Nếu điều này là không thể, chúng ta có thể có được một bằng chứng cho thấy điều này là không thể? Nói cách khác, chúng ta có thể chứng minh rằng với bất kỳ đồ thị nào như vậy và cho , nếu chúng ta có đủ thông tin để tìm máy bay cho bằng cách nào đó, thì chúng ta có đủ thông tin để sử dụng Cayley-Menger để tìm máy bay không?$G$$k$$k$$G$$k$

Tôi nghĩ rằng nếu biểu đồ đầu vào được kết nối 3 và bạn giả sử một số nguồn gốc và hướng tùy ý, bạn có thể tạo lại các điểm ban đầu. Đặc biệt là nếu bạn có thể tìm thấy K_4 để gieo mầm quá trình tam giác.

Một khi chúng ta có điểm, các chiến lược tham lam trở nên có sẵn. Chúng có thể không tối ưu, nhưng có lẽ chúng đủ cho mục đích của bạn.

Tôi đã hỏi về việc phục hồi nhúng như một câu hỏi riêng biệt.

Tham lam ngẫu nhiên

Cho đến khi chúng tôi có ít hơn ba điểm không đủ tiêu chuẩn, hãy tự ý chọn ba trong số đó, nhường máy bay đi qua chúng và đánh dấu tất cả các điểm trên mặt phẳng là không đủ tiêu chuẩn.

Lấy các điểm không đủ tiêu chuẩn còn lại (nếu có), ghép chúng với một số điểm không đủ tiêu chuẩn và đưa máy bay đi qua chúng.

Các mặt phẳng chúng tôi mang lại bao gồm tất cả các điểm. Số lượng mặt phẳng chúng tôi mang lại nhiều nhất là và mỗi mặt phẳng yêu cầu quét qua các điểm còn lại, do đó thuật toán này mất thời gian (nhanh hơn so với tính toán một định thức).$\frac{n}{3}$$O(n^2)$

Nếu số lượng máy bay , thì chúng ta có tỷ lệ khá hợp lý khi đánh một trong những mặt phẳng lớn. Tôi không chắc thời gian chạy dự kiến là bao nhiêu, nhưng tôi sẽ đoán nó ở . (Điều đó dựa trên vấn đề người sưu tập phiếu giảm giá ngụ ý rằng chúng ta cần lần truy cập để thu thập máy bay và tỷ lệ của một lần truy cập là vì vậy thời gian dự kiến ​​giữa các lần truy cập là ).$k \ll n$$O(n \, k^3 \log k)$$\approx k \log k$$k$$\approx (1/k)^2$$\approx k^2$

Tham lam ưu tiên

Một điều khác chúng ta có thể làm, nếu chúng ta có thể giải quyết các điểm, là lặp lại trên tất cả các bộ ba và đếm xem có bao nhiêu điểm trên mặt phẳng đó. Sau đó, chúng tôi liên tục nhường mặt phẳng bao phủ hầu hết các điểm, cho đến khi không còn điểm nào.

Nếu chúng ta không tính đến các điểm không đủ tiêu chuẩn khi chọn mặt phẳng tiếp theo, thì việc này sẽ mất thời gian trong đó là số lượng mặt phẳng chúng ta trả về. Nếu chúng tôi ưu tiên lại, thì tôi nghĩ nó vẫn có thể được thực hiện trong (số điểm không đủ tiêu chuẩn trên các mặt phẳng khác chỉ có thể thay đổi theo 2 để có thể cân bằng lại theo cách thông minh ).$O(n^3 \log t)$$t$$O(n^3 \log t)$

Cách tiếp cận này sẽ làm tốt hơn, nhưng một lần nữa tôi không nghĩ rằng nó được đảm bảo có . Chúng ta có thể sắp xếp các điểm sao cho việc đi máy bay bao trùm hầu hết chúng sẽ khiến chúng ta đi sai đường.$t=k$

RANSAC sẽ là một phương pháp ứng cử viên để tìm các mặt phẳng chiếm một phần lớn các điểm.

Giả sử rằng một phần lớn các điểm đi qua một số mặt phẳng , giả sử, trong số chúng. Đây là cách chúng ta có thể tìm thấy nó:$P$$n/10$

Vì vậy, hãy chọn ngẫu nhiên 4 điểm từ ; gọi các điểm đó là . Giả sử chúng ta biết khoảng cách giữa tất cả các cặp như vậy (chúng tạo thành một 4, ). Sau đó, chúng ta có thể sử dụng định thức Cayley-Menger để xem chúng có phải là đồng phẳng hay không. Giả sử chúng là đồng phẳng. Sau đó, chúng ta có thể thử kiểm tra lẫn nhau điểm và xem liệu chúng ta có thể biết liệu nó có cùng mặt phẳng với mặt phẳng được tạo bởi . Chúng tôi chỉ có thể kiểm tra điều này khi điểm bổ sung tạo thành một cụm 4 cùng với một số điểm khác được biết là trên mặt phẳng. Cuối cùng, nếu chúng ta tìm thấy một số điểm đáng kể trên mặt phẳng được tạo bởi$n$$q,r,s,t$$K_4$$x$$q,r,s,t$$u$$q,r,s,t$, chúng tôi giữ chiếc máy bay này. Tiếp tục làm điều này cho, 1000 lựa chọn ngẫu nhiên của .$q,r,s,t$

Làm thế nào tốt này sẽ làm việc? Chà, giả sử chúng ta mô hình hóa biểu đồ dưới dạng biểu đồ ngẫu nhiên trong đó mỗi cạnh có thể xuất hiện với xác suất (vì vậy chúng ta mong đợi trung bình cạnh). Khi đó xác suất để một bộ 4 điểm được chọn ngẫu nhiên tạo thành một cụm 4 trong biểu đồ là . Do đó, nếu chúng ta lấy mẫu ít nhất lựa chọn của , chúng tôi hy vọng sẽ tìm thấy ít nhất một trong những nơi họ tiết lộ máy bay . Ngoài ra, xác suất để một điểm bổ sung tạo thành một cụm 4 có ít nhất ba điểm là , vì vậy khi chúng ta tìm thấy bốn điểm trên mặt phẳng$p$$pn(n-1)/2$$p^6$$10^4/p^6$$q,r,s,t$$P$$u$$p,q,r$$p^3$$q,r,s,t$$P$, Chúng tôi hy vọng sẽ tìm thấy ít nhất của các điểm trên mặt phẳng . (Trên thực tế, có lẽ chúng ta sẽ tìm thấy nhiều hơn thế. Một khi chúng ta có điểm, bây giờ xác suất một điểm bổ sung tạo thành một cụm 4 với ít nhất ba trong số đó là , lớn hơn đáng kể so với ) Nói cách khác, một khi chúng ta tìm thấy điểm trên mặt phẳng , có khả năng chúng ta sẽ giữ mặt phẳng này.$p^3 n/10$$P$$p^3 n/10$$v$$1-(1-p^3)^{p^3 n/10} \approx 1-\exp\{-p^6 n/10\}$$p^3$$q,r,s,t$$P$

Vì vậy, miễn là bạn lấy mẫu đủ 4 tổ hợp điểm và miễn là đồ thị của bạn đủ đậm đặc, quy trình này có khả năng phát hiện tất cả các mặt phẳng bao phủ một phần lớn các điểm.

Thật không may, câu trả lời là đây là một vấn đề NP-Complete. Chỉ sử dụng 4 mặt phẳng điểm, bạn có thể mã hóa các vấn đề thỏa đáng vào việc có hay không một tập hợp điểm tạo ra một khoảng cách thưa thớt.

Điều đó có nghĩa là bạn có thể tạo ra các vấn đề trong đó xác định xem mặt phẳng thứ năm có cần thiết hay không yêu cầu giải các bài toán 3-SAT. Bạn có thể kết hợp hai bài toán như vậy, trong đó chính xác một bài yêu cầu mặt phẳng thứ năm, để giữ cho số lượng mặt phẳng không đổi và buộc thuật toán phải giải các bài toán 3-SAT ngay cả khi nó biết trước .$k$

Vì vậy, vấn đề không có giải pháp thời gian đa thức tồi tệ nhất, trừ khi P = NP.

đang cố gắng trả lời mặc dù câu hỏi có thể được nêu rõ ràng. một nửa trong số đó nói rằng các điểm được đưa ra, nửa còn lại nói rằng khoảng cách theo cặp được đưa ra. tôi sẽ giả định rằng tọa độ điểm được đưa ra cho câu trả lời này. có một mối liên hệ chặt chẽ giữa yếu tố quyết định tính toán và thứ hạng ma trận. có một khái quát như sau. tạo ma trận của vectơ 3d, chúng có thể là vectơ cột hoặc hàng. tính thứ hạng . nếu là 2, các điểm là coplanar. khoảng cách cặp có thể được tính từ tọa độ và không cần thiết để tính / xác định thứ hạng ma trận.