Người giải quyết SAT hàng đầu có thể dễ dàng số?

Những người giải SAT hiện đại rất giỏi trong việc giải quyết nhiều ví dụ thực tế về các trường hợp SAT. Tuy nhiên, chúng tôi biết cách tạo ra các phần cứng: ví dụ: sử dụng giảm từ bao thanh toán đến SAT và đưa ra các số RSA làm đầu vào.

Điều này đặt ra câu hỏi: nếu tôi lấy một ví dụ dễ dàng về bao thanh toán. Thay vì lấy hai số nguyên tố lớn trên bit, nếu tôi lấy số nguyên tố trên bit và số nguyên tố q trên bit, hãy đặt và mã hóa như một ví dụ SAT. sẽ là một con số dễ dàng để nhân tố bằng các phương pháp tìm kiếm hoặc sàng lọc vũ phu vì một trong những yếu tố rất nhỏ; một người giải SAT hiện đại với một số giảm tiêu chuẩn từ bao thanh toán đến SAT cũng nhận được cấu trúc này? $n/2$ $p$ $\log n$ $n/\log n$ $N = pq$ $\mathrm{FACTOR}(N)$ $N$

Có thể hệ số giải SAT hàng đầu $N = pq$ trong đó $|p| = \log n$ nhanh chóng?

— Nữ hoàng Kaznatcheev
nguồn

Có những trường hợp đơn giản hơn nhiều mà chúng ta có thể biết rằng các thuật toán hiện tại không thể giải quyết trong thời gian theo cấp số nhân. Các thuật toán này không có khả năng đếm (hầu hết tất cả chúng đều là những cải tiến của DPLL tương ứng với hệ thống chứng minh mệnh đề Nghị quyết).

Thật không may, ví dụ như vậy là trường hợp không hài lòng. Câu hỏi về việc tìm kiếm các trường hợp cứng tự nhiên thỏa đáng cho các thuật toán này là một vấn đề nghiên cứu thú vị (Russeell Impagliazzo đã đề cập đến vấn đề này trong hội thảo về độ phức tạp chứng minh năm ngoái tại Banff). Có những trường hợp thỏa đáng mà chúng tôi có thể biết rằng các thuật toán thất bại nặng nề nếu có bất kỳ trường hợp nào như vậy, nhưng chúng không tự nhiên lắm (chúng dựa trên các công thức thể hiện sự đúng đắn của thuật toán).

Về bao thanh toán, nếu kích thước của các số nhỏ (ví dụ logarit như trong trường hợp của bạn, tức là các số được đưa ra bằng unary), thì về mặt lý thuyết không có kết quả nào cho thấy không thể giải được bằng thuật toán hiện tại và trên thực tế chúng ta có thể viết đơn giản thuật toán thời gian đa thức có yếu tố những con số này. Vì vậy, liệu một chương trình giải SAT cụ thể có thể giải quyết chúng hay không có thể phụ thuộc vào thuật toán cụ thể.

— Kaveh
nguồn

Tôi đã hy vọng sử dụng nhị phân và chỉ có một trong các yếu tố rất nhỏ (theo thứ tự , trong khi yếu tố kia là ) để bảo vệ càng nhiều càng tốt cho bao thanh toán thông thường (tôi cảm thấy muốn chuyển sang unary chỉ thay đổi quá nhiều thứ cho tôi). Cảm ơn thông tin về các vấn đề đơn giản hơn, bạn có thể cung cấp một liên kết đến một bài báo về các trường hợp khó thỏa mãn dựa trên việc đếm không?

\log N

$\log N$

N / \log N

$N/\log N$

— Artem Kaznatcheev

@Artem, bất kỳ độ phức tạp chứng minh nào được hạ thấp cho Độ phân giải sẽ đưa ra một ví dụ, lấy ví dụ về nguyên tắc lỗ chim bồ câu. Người ta có thể dễ dàng trích xuất một bằng chứng Độ phân giải (từ chối) cho trường hợp không thỏa mãn từ tính toán của các thuật toán này trong trường hợp đó. Có một cuộc khảo sát thú vị của Nathan Segerlind từ năm 2007 rằng IIRC bao gồm điều này trong số những điều khác. Hãy cho tôi biết nếu nó không có ở đó và tôi sẽ tìm cho bạn một tài liệu tham khảo khác.

— Kaveh

@Artem, tôi nghĩ rằng đối số cũng hoạt động trong trường hợp chỉ một trong các số là logarit, tức là chúng ta có thể giải quyết nó trong thời gian đa thức bằng cách đi qua tất cả các số nhỏ để xem liệu một trong số chúng có phải là một yếu tố của sản phẩm không.

— Kaveh

@Kaven vâng, đó là lý do tại sao tôi tạo một trong số các logarit có kích thước. Tôi giải thích nó trong câu hỏi. Tôi chỉ không muốn một câu trả lời giả định đại diện đơn phương như đoạn thứ 3 của bạn đề xuất. Tôi sẽ xem Segerlind sau. Một lần nữa, cảm ơn vì nhận xét: D.

— Artem Kaznatcheev

@Artem, bạn được chào đón. :) (Tôi đã sử dụng unary bởi vì tôi giả sử rằng cả hai số đều nhỏ và được sử dụng là unary để đối phó với thực tế là kích thước nên theo cấp số nhân trong chúng, thay vào đó, người ta chỉ có thể đệm để làm cho chúng lớn.)

— Kaveh