Là gì

Tôi đang xem Giải tích công trình và vị trí của nó trong Lambda Cube .

Nếu tôi hiểu chính xác, mỗi trục của khối lập phương có thể được coi là thêm một hoạt động khác liên quan đến các loại vào phép tính được gõ đơn giản, $\lambda_\to$ . Trục đầu tiên thêm toán tử loại-to-term, toán tử loại-thứ hai và kiểu gõ phụ thuộc thứ ba hoặc toán tử term-to-type. CoC có tất cả ba.

Tuy nhiên, CoC giới thiệu một thuật ngữ $Prop$ và nói rằng $Prop : Type$ theo các quy tắc suy luận , nhưng nếu không thì không được sử dụng. Tôi hiểu rằng nó dành cho các mệnh đề cùng tên, nhưng các mệnh đề logic không được định nghĩa theo nghĩa của nó.

Bạn có thể giải thích cho tôi $Prop$ dùng để làm gì, ở đâu / khi nào nó xuất hiện và giải thích nó theo các trục của khối lập phương (nếu thực sự có thể làm như vậy)?

Trong lý thuyết loại Martin-Löf truyền thống, không có sự phân biệt giữa các loại và các mệnh đề. Điều này đi theo khẩu hiệu "đề xuất như các loại". Nhưng đôi khi có những lý do để phân biệt chúng. CoC làm chính xác điều đó.

$$\mathsf{Prop} : \mathsf{Type}$$ $\mathsf{Type} : \mathsf{Prop}$$\mathsf{Prop}$$\mathsf{Prop}$$\mathsf{Type}_1$$\mathsf{Type}_2$$\mathsf{Type}_3$ $$\begin{align*} \mathsf{Prop} &: \mathsf{Type}_1 \\ \mathsf{Type}_1 &: \mathsf{Type}_2 \\ \mathsf{Type}_2 &: \mathsf{Type}_3 \\ &\vdots \end{align*}$$ $\prod$$\prod_{x : A} B(x)$$A$$B(x)$

1. $$\frac{A : \mathsf{Prop} \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Prop}} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Prop}}$$
2. $$\frac{A : \mathsf{Type}_i \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Prop}} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Prop}}$$
3. $$\frac{A : \mathsf{Prop} \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Type}_i} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Type}_i}$$
4. $$\frac{A : \mathsf{Type}_i \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Type}_j} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Type}_{\max(i,j)}}$$

Thú vị nhất là sự khác biệt giữa trường hợp thứ hai và trường hợp thứ tư. Quy tắc thứ tư nói rằng nếu ở trong vũ trụ thứ và ở trong vũ trụ thứ , thì sản phẩm nằm trong vũ trụ thứ . Nhưng quy tắc thứ hai là nói cho chúng ta biết rằng là không chỉ là "một vũ trụ hơn ở phía dưới", bởi vì tiếp đất trong càng sớm càng không, cho dù lớn như thế nào . Đây là impredicative bởi vì nó cho phép chúng ta xác định các yếu tố của$A$$i$$B(x)$$j$$\max(i,j)$$\mathsf{Prop}$$\prod_{x : A} B(x)$$\mathsf{Prop}$$B(x)$$A$$\mathsf{Prop}$bằng cách định lượng trên chính .$\mathsf{Prop}$

Một ví dụ cụ thể sẽ là so với Sản phẩm đầu tiên sống trong , nhưng cái thứ hai là trong (chứ không phải trong , mặc dù chúng tôi đang định lượng qua một phần tử của ). Cụ thể, điều này có nghĩa là một trong những giá trị có thể có của là chính nó.

$$\prod_{A : \mathsf{Type}_1} A \to A$$ $$\prod_{A : \mathsf{Prop}} A \to A$$ $\mathsf{Type}_2$$\mathsf{Prop}$$\mathsf{Type}_1$$\mathsf{Type}_1$$A$$\prod_{A : \mathsf{Prop}} A \to A$