Ngừng vấn đề mà không tự tham khảo

Trong vấn đề tạm dừng, chúng tôi quan tâm nếu có máy Turing có thể cho biết liệu máy Turing đã cho M có dừng hay không trên đầu vào i đã cho . Thông thường, bằng chứng bắt đầu giả sử T như vậy tồn tại. Sau đó, chúng tôi xem xét một trường hợp trong đó chúng tôi giới hạn i ở chính M và sau đó rút ra một mâu thuẫn bằng cách sử dụng một thể hiện của một đối số đường chéo. Tôi quan tâm như thế nào sẽ đi chứng minh nếu chúng ta đưa ra một lời hứa rằng tôi ≠ M ? Còn về lời hứa i ≠ M ' , nơi M ' có chức năng tương đương với M ?$T$$M$$i$$T$$i$$M$$i \not = M$$i \not = M^\prime$$M^\prime$$M$

Giả sử HALTS là một TM đọc đầu vào của nó là một cặp và x , trong đó M là mã hóa TM và x là bất kỳ đầu vào nào cho TM đó.$M$$x$$M$$x$

Câu hỏi của bạn nếu những gì sẽ xảy ra nếu chúng ta giả định tạm dừng giải quyết các vấn đề ngăn chặn cho tất cả các đầu vào mà x không phải là một mã hóa của một TM đó là chức năng tương đương với M .$\langle M,x \rangle$$x$$M$

Tôi khẳng định điều này ngụ ý một mâu thuẫn. Tôi đã đưa ra điều này ngay tại chỗ, vì vậy tôi hoan nghênh bất kỳ và tất cả những lời chỉ trích về bằng chứng của tôi. Ý tưởng của bằng chứng là thay vì tự chéo một thứ gì đó, chúng ta tạo ra hai TM đệ quy lẫn nhau hoạt động khác nhau trên một số đầu vào (do đó không tương đương về chức năng), nhưng ngược lại gây ra mâu thuẫn.

Đặt và D 2 là hai TM đệ quy lẫn nhau (có nghĩa là chúng ta có thể mô phỏng, in, v.v., mô tả về D 2 bên trong chương trình của D 1 và ngược lại). Lưu ý rằng chúng ta có thể tạo các TM đệ quy lẫn nhau từ định lý đệ quy.$D_1$$D_2$$D_2$$D_1$

Xác định và D 2 như sau: trên đầu vào x , nếu | x | < 10 (10 được chọn tùy ý), sau đó D 1 chấp nhận và D 2 vòng. (Như vậy, chúng không tương đương về chức năng).$D_1$$D_2$$x$$|x| < 10$$D_1$$D_2$

Cho đầu vào với | x | ≥ 10 , xác định D 1 để mô phỏng dừng trên ⟨ D 2 , x ⟩ và dừng lại nếu D 2 tạm dừng hoặc vòng lặp nếu D 2 vòng.$x$$|x| \ge 10$$D_1$$\langle D_2, x \rangle$$D_2$$D_2$

Cho đầu vào với | x | ≥ 10 , xác định D 2 để mô phỏng dừng trên ⟨ D 1 , x ⟩ và vòng lặp nếu D 1 tạm dừng hoặc dừng lại nếu D 1 vòng.$x$$|x| \ge 10$$D_2$$\langle D_1, x \rangle$$D_1$$D_1$

Sau đó lưu ý rằng với bất kỳ với | x | ≥ 10 , D 1 (x) hoặc tạm dừng hoặc vòng. Nếu D 1 dừng trên đầu vào x, thì chúng ta biết HALTS ( D 2 , x) xác định rằng D 2 dừng trên đầu vào x. Tuy nhiên, D 2 tạm dừng trên đầu vào x ngụ ý rằng các vòng lặp HALTS ( D 1 , x).$x$$|x| \ge 10$$D_1$$D_1$$D_2$$D_2$$D_2$$D_1$

Nếu trên các vòng lặp x đầu vào , mâu thuẫn cũng xảy ra tương tự.$D_1$$x$

Đây là một mâu thuẫn trừ khi là mã hóa cho máy xử lý có chức năng tương đương với D 1 hoặc D 2 , trong trường hợp đó HALTS có hành vi không xác định. Tuy nhiên, x được chọn tùy ý từ tất cả các chuỗi có kích thước lớn hơn 10 . Do đó, vẫn còn cho thấy tồn tại một máy Turing có mã hóa kích thước lớn hơn 10 hoạt động khác với D 1 và D 2 . Chúng ta có thể xây dựng một máy như vậy tầm thường. QED.$x$$D_1$$D_2$$x$$10$$D_1$$D_2$

Suy nghĩ?

$M'$$M'$$M$$M$$M'$$M$

$\langle\,M\,\rangle$$M$$H$

• $H(\langle\,M\,\rangle, x)$$x$$H$$x$$H$
• $H(\langle\,M\,\rangle, x)$$M(x)$

$Q$

Q(x)=
  if H(<Q>, x) = false
    return true
  else
    loop forever

$Q$$H$$x=\langle\,Q\,\rangle$$Q(\langle\,Q\,\rangle)$$H$