Có phải việc tìm tập hợp các tập con nhỏ nhất sao cho số phần tử trong các tập con là <= số tập con NP-hard?

Với một tập hợp các tập hợp con không rỗng của ( không cố định), vấn đề là tìm tập hợp các tập hợp con không rỗng nhỏ nhất để số lượng phần tử riêng biệt xuất hiện trong số liên hiệp các tập hợp con nhỏ hơn hoặc bằng số tập con được chọn. Đây có vẻ như là một vấn đề khó NP nhưng tôi không thể chứng minh được. Có ai giúp đỡ không?$\{1,2,\ldots,N\}$$N$

Điều này quá dài cho một nhận xét nhưng không thực sự là một câu trả lời đầy đủ.

Chúng ta hãy định dạng lại vấn đề thiết lập một chút dưới dạng đồ thị lưỡng cực , với là một tập hợp các đỉnh và tập hợp các tập con (giả sử là ) như một tập hợp các đỉnh khác , với một cạnh giữa và iff . Đối với bất kỳ tập các đỉnh trong , xác định là hàng xóm của trong - cụ thể là, các thiết lập của tất cả các đỉnh trong được tiếp giáp với ít nhất một đỉnh trong .$G$$\{1,2,\ldots,N\} = X$$Y$$i \in X$$J \in Y$$i \in J$$W$$Y$$N(W)$$W$$G$$X$$W$

Sau đó, vấn đề yêu cầu tìm một tập hợp con tối thiểu sao cho. Tuy nhiên, nếu chúng ta thay đổi tiêu chí một chút thành, chúng tôi thấy rằng một tập hợp con như vậy tồn tại nếu và chỉ khi không tồn tại sự trùng khớp giữa và bao trùm , vì nó hoàn toàn tương đương với Định lý Hôn nhân của Hall .$W \subseteq Y$$|N(W)| \leq |W|$$|N(W)| \lt |W|$$X$$Y$$Y$

Vì các kết quả khớp này có thể tìm thấy trong thời gian đa thức (ví dụ: thông qua Hopcroft-Karp ), tôi nghĩ rằng phiên bản của vấn đề này có thể tương đối dễ dàng nhưng tôi phải thực hiện thêm một số công việc để tìm ra thuật toán chuẩn cho bipartite phù hợp làm lộ ra các bộ thiếu này và có thể thu được các bộ thiếu hụt tối thiểu hay không . Hơn nữa, tôi không thể biết ngay phiên bản gốc của vấn đề khó hơn bao nhiêu (cho phép ) so với phiên bản sửa đổi này.$|N(W)| = |W|$

Bạn có thể giảm từ Clique. Tạo một tập hợp cho mỗi đỉnh, mỗi phần tử có n-1 tương ứng với các đỉnh khác n-1, với phần tử cho v trong tập u bằng với phần tử cho u trong tập v (nhưng không bằng bất kỳ phần tử nào khác) nếu {u, v} là một cạnh và một phần tử duy nhất khác. Sau đó, chúng ta có thể chọn các chuỗi k cùng chứa các phần tử k (nk) + k (k-1) / 2 nếu chỉ khi có một cụm có kích thước k. Sau đó, chúng ta chỉ cần thêm đúng số lượng tập hợp một phần tử có chứa phần tử giống nhau sao cho số lượng tập hợp được chọn và các phần tử được thu thập là như nhau.