Các hàm không tính toán có phát triển lớn hơn không?

Tôi đọc về số lượng hải ly bận rộn và làm thế nào chúng phát triển lớn hơn bất kỳ chức năng tính toán nào. Tại sao cái này rất? Có phải vì chức năng hải ly bận rộn không thể tính toán? Nếu vậy, thì tất cả các hàm không tính toán có phát triển lớn hơn so với các hàm tính toán không?

Biên tập:

Những câu trả lời tuyệt vời dưới đây nhưng tôi muốn giải thích bằng tiếng Anh đơn giản hơn những gì tôi hiểu về chúng.

Nếu có một hàm tính toán f tăng trưởng nhanh hơn hàm hải ly bận, thì điều này có nghĩa là hàm hải ly bận bị giới hạn bởi f. Nói cách khác, một máy turing chỉ cần chạy trong f (n) nhiều bước để quyết định vấn đề tạm dừng. Vì chúng tôi biết vấn đề tạm dừng là không thể giải quyết được, giả định ban đầu của chúng tôi là sai. Do đó, hàm hải ly bận rộn phát triển nhanh hơn tất cả các hàm tính toán.

Nếu bạn lấy bất kỳ tập hợp số tự nhiên không thể tính toán nào, hàm đặc trưng của tập hợp chỉ lấy các giá trị và không thể tính toán được. Vì vậy, không phải mọi trường hợp mọi chức năng không thể tính toán đều phát triển rất nhanh, thậm chí chúng có thể bị chặn.$\{0,1\}$

Hàm Busy Beaver phát triển nhanh hơn mọi hàm tính toán vì nó được xây dựng để làm như vậy. Bằng chứng là tiền thu được không tính toán được bằng cách đầu tiên chứng minh rằng nó phát triển nhanh hơn bất kỳ chức năng tính toán nào.

Tổng quát hơn, giả sử rằng tập hợp có "mức độ không miễn dịch" nếu mọi hàm tính toán từ A được giới hạn bởi một hàm tính toán. Chắc chắn mỗi bộ tính toán đều có mức độ không miễn dịch. Được biết, cũng có nhiều bộ không thể tính toán được có mức độ không miễn dịch. Vì vậy, không phải trường hợp nào mọi thứ không thể tính toán sẽ phải tính toán một số hàm tăng trưởng nhanh. $A \subseteq \mathbb{N}$$A$

Tuy nhiên, đó cũng là trường hợp một bộ tái lập không thể tính toán được sẽ không có mức độ không miễn dịch. Nếu là re và được liệt kê bởi chỉ số e , hàm f sao cho f ( n ) = k nếu e liệt kê n trong k bước và f ( n ) = 0 nếu e không liệt kê n , có thể tính được từ B nhưng điều này hàm được giới hạn bởi hàm tính toán khi và chỉ khi B có thể tính toán được.$B$$e$$f$$f(n) = k$$e$$n$$k$$f(n) = 0$$e$$n$$B$$B$

Nếu một hàm tăng trưởng nhanh hơn (hoặc chậm hơn) hơn bất kỳ chức năng trong một tập F các chức năng, đó là f ∈ w ( g ) (hoặc o ( g ) ) cho tất cả các chức năng g ∈ F , sau đó rõ ràng f ∉ F . Đây là những gì được sử dụng để chỉ ra rằng hàm bận rộn không thể tính toán được. Một ví dụ khác là bằng chứng cho thấy hàm - tính toán và tổng - Ackermann không phải là đệ quy nguyên thủy.$f$$F$$f \in \omega(g)$$o(g)$$g \in F$$f \notin F$

Điều ngược lại không nhất thiết phải giữ. Hàm giải quyết vấn đề lấy các giá trị trong vì vậy nó nằm trong O ( 1 ) ; rõ ràng có các chức năng tính toán phát triển nhanh và nhanh hơn.$\{0,1\}$$O(1)$

Chắc chắn có các bộ chức năng mà thời gian chạy là cả một tiêu chí thành viên cần và đủ, cụ thể là các chức năng được đặc trưng bởi thời gian chạy, chẳng hạn như

.$\qquad \displaystyle \mathrm{Poly} = \{f : \mathbb{N} \to \mathbb{N} \mid \exists k.\, f \in O(n^k)\}$

1. Điều đó chỉ làm cho một số lượng hạn chế của ý nghĩa. Tham số của chức năng HP là mã hóa máy Turing và số tự nhiên; kích thước của nó không thể đo lường được mức độ phức tạp của nó khi quyết định tạm dừng.