Tạo đầu vào cho các thuật toán đồ thị thử nghiệm ngẫu nhiên?

Khi kiểm tra các thuật toán, một cách tiếp cận phổ biến là kiểm tra ngẫu nhiên: tạo ra một số lượng đáng kể các đầu vào theo một số phân phối (thường là thống nhất), chạy thuật toán trên chúng và xác minh tính chính xác. Các khung kiểm tra hiện đại có thể tạo đầu vào tự động với chữ ký thuật toán, với một số hạn chế.

Nếu đầu vào là số, danh sách hoặc chuỗi, tạo đầu vào như vậy theo hướng thẳng. Cây khó hơn, nhưng vẫn dễ dàng (sử dụng ngữ pháp không ngữ cảnh ngẫu nhiên hoặc các cách tiếp cận tương tự).

Làm thế nào bạn có thể tạo đồ thị ngẫu nhiên (hiệu quả)? Thông thường, chọn đồ thị thống nhất một cách ngẫu nhiên không phải là điều bạn muốn: chúng nên được kết nối, hoặc phẳng, hoặc không có chu kỳ, hoặc thực hiện bất kỳ thuộc tính nào khác. Lấy mẫu từ chối có vẻ không tối ưu, do tập hợp đồ thị không mong muốn rất lớn.

Phân phối hữu ích để xem xét là gì? Hữu ích ở đây có nghĩa là

• các đồ thị có khả năng kiểm tra thuật toán trong tầm tay và
• chúng có thể được tạo ra một cách hiệu quả và hiệu quả.

Tôi biết rằng có nhiều mô hình cho biểu đồ ngẫu nhiên, vì vậy tôi đánh giá cao một số hiểu biết sâu sắc nhất về việc tạo biểu đồ trong vấn đề này.

Nếu "một số thuật toán" quá chung chung, vui lòng sử dụng các thuật toán tìm đường đi ngắn nhất như một lớp thuật toán cụ thể đang được thử nghiệm. Các đồ thị để thử nghiệm nên được kết nối và khá dày đặc (với xác suất cao, hoặc ít nhất là trong kỳ vọng). Để thử nghiệm, giải pháp tối ưu sẽ là tạo các biểu đồ ngẫu nhiên xung quanh một con đường ngắn nhất để chúng tôi biết kết quả mong muốn (mà không phải sử dụng thuật toán khác).

Đồ thị ngẫu nhiên với cấu trúc liên kết thế giới nhỏ

Trong các biểu đồ với cấu trúc liên kết thế giới nhỏ , các nút được phân cụm cao nhưng độ dài đường dẫn giữa chúng là nhỏ. Một cấu trúc liên kết như thế này có thể làm cho các vấn đề tìm kiếm rất khó khăn, vì các quyết định địa phương nhanh chóng lan truyền trên toàn cầu. Nói cách khác, các phím tắt có thể đánh lừa heuristic. Hơn nữa đã được chỉ ra rằng nhiều vấn đề tìm kiếm khác nhau có cấu trúc liên kết thế giới nhỏ.

Watts và Strogatz [1] đề xuất một mô hình cho đồ thị thế giới nhỏ . Đầu tiên, chúng tôi bắt đầu với một biểu đồ thông thường. Rối loạn được đưa vào biểu đồ bằng cách tua lại ngẫu nhiên mỗi cạnh với xác suất . Nếu p = 0 , đồ thị hoàn toàn đều đặn và được sắp xếp. Nếu p = 1 , đồ thị hoàn toàn ngẫu nhiên và rối loạn. Các giá trị 0 < p < 1 tạo ra các biểu đồ không hoàn toàn đều đặn hoặc hoàn toàn không được sắp xếp. Đồ thị không có cấu trúc liên kết thế giới nhỏ cho p = 0 và p = 1 .$p$$p=0$$p=1$$0 < p < 1$$p=0$$p=1$

$n$$k$$n \gg k \gg \ln(n) \gg 1$$k \gg \ln(n)$

Mô hình của Watts và Strogatz có phần phổ biến, nhưng có một số nhược điểm nhất định. Walsh [2] điều tra các tác động của chiến lược ngẫu nhiên hóa và khởi động lại trong các biểu đồ được tạo bằng mô hình. Ngoài ra còn có một bài báo của Virtanen [3], bao gồm các mô hình khác được thúc đẩy bởi nhu cầu mô hình hóa thực tế của các hệ thống phức tạp.

Đồ thị phẳng đơn giản ngẫu nhiên

$n$$n$$g_n$$g_n$$1 \leq n \leq 9$$1,2,8,64,1023,32071,1823707,163947848$$20402420291$$g_n$

$$g_n \sim g \cdot n^{-7/2} \gamma^n n!,$$ $g$$\gamma$$g \approx 0.42609$$\gamma \approx 27.22687$

$\rightarrow$$\rightarrow$$\rightarrow$$\rightarrow$

$n$$x^n$$x$

Đối với một giới thiệu nhẹ, xem một bài thuyết trình của Fusy .

---

[1] DJ Watts và SH Strogatz. Động lực tập thể của các mạng 'thế giới nhỏ'. Thiên nhiên, 393: 440-442, 1998 .

[2] Toby Walsh. Tìm kiếm trong một thế giới nhỏ. Kỷ yếu Hội thảo quốc tế chung về trí tuệ nhân tạo lần thứ 16 (IJCAI-99-Vol2), trang 1172-1177, 1999 .

[3] Satu Virtanen. Tính chất của mô hình đồ thị ngẫu nhiên không hình thành. Báo cáo nghiên cứu A77, Đại học Công nghệ Helsinki, Phòng thí nghiệm Khoa học máy tính lý thuyết, 2003 .

[4] O. Giménez và M. Noy. Phép liệt kê tiệm cận và định luật giới hạn của đồ thị phẳng, toán học arXiv.CO/0501269. Một bản tóm tắt mở rộng đã xuất hiện trong Toán học rời rạc và Khoa học máy tính lý thuyết AD (2005), 147-156 .

[5] E. Fusy. Tạo thời gian bậc hai và tuyến tính của đồ thị phẳng, Toán học rời rạc và Khoa học máy tính lý thuyết AD (2005), 125-138 .

[6] P. Duchon, P. Flajolet, G. Louchard và G. Schaeffer. Bộ lấy mẫu Boltzmann cho thế hệ ngẫu nhiên của các cấu trúc tổ hợp. Kết hợp, xác suất và tính toán, 13 (4-5): 577-625, 2004 .