Một câu hỏi đã được hỏi tại Stack Overflow ( tại đây ):
Đưa ra một số nguyên , in ra tất cả các kết hợp có thể của giá trị nguyên và mà giải quyết phương trình .
Câu hỏi này tất nhiên có liên quan đến Giả thuyết của Bachet trong lý thuyết số (đôi khi được gọi là Định lý Bốn bình phương của Lagrange vì bằng chứng của ông). Có một số bài viết thảo luận về cách tìm một giải pháp duy nhất, nhưng tôi không thể tìm thấy bất cứ điều gì nói về việc chúng ta có thể tìm thấy tất cả các giải pháp cho một cụ thể như thế nào (nghĩa là tất cả các kết hợp , không phải tất cả các hoán vị ).
Tôi đã suy nghĩ về nó khá nhiều và dường như nó có thể được giải quyết trong thời gian và không gian , trong đó là tổng số mong muốn. Tuy nhiên, thiếu bất kỳ thông tin trước về chủ đề này, tôi không chắc đó là một yêu cầu quan trọng về phía tôi hay chỉ là một kết quả tầm thường, rõ ràng hoặc đã được biết đến.
Vì vậy, câu hỏi sau đó là, chúng ta có thể tìm thấy tất cả các Tứ giác vuông cho một cho trước nhanh đến mức nào?
OK, đây là thuật toán (gần) O (N) mà tôi đã nghĩ đến. Hai hàm hỗ trợ đầu tiên, một hàm căn bậc hai gần nhất:
// the nearest integer whose square is less than or equal to N
public int SquRt(int N)
{
return (int)Math.Sqrt((double)N);
}
Và một hàm để trả về tất cả các cặp TwoSapes tổng từ 0 đến N:
// Returns a list of all sums of two squares less than or equal to N, in order.
public List<List<int[]>> TwoSquareSumsLessThan(int N)
{
//Make the index array
List<int[]>[] Sum2Sqs = new List<int[]>[N + 1];
//get the base square root, which is the maximum possible root value
int baseRt = SquRt(N);
for (int i = baseRt; i >= 0; i--)
{
for (int j = 0; j <= i; j++)
{
int sum = (i * i) + (j * j);
if (sum > N)
{
break;
}
else
{
//make the new pair
int[] sumPair = { i, j };
//get the sumList entry
List<int[]> sumLst;
if (Sum2Sqs[sum] == null)
{
// make it if we need to
sumLst = new List<int[]>();
Sum2Sqs[sum] = sumLst;
}
else
{
sumLst = Sum2Sqs[sum];
}
// add the pair to the correct list
sumLst.Add(sumPair);
}
}
}
//collapse the index array down to a sequential list
List<List<int[]>> result = new List<List<int[]>>();
for (int nn = 0; nn <= N; nn++)
{
if (Sum2Sqs[nn] != null) result.Add(Sum2Sqs[nn]);
}
return result;
}
Cuối cùng, thuật toán chính nó:
// Return a list of all integer quads (a,b,c,d), where:
// a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = N,
// and a >= b >= c >= d,
// and a,b,c,d >= 0
public List<int[]> FindAllFourSquares(int N)
{
// get all two-square sums <= N, in descending order
List<List<int[]>> Sqr2s = TwoSquareSumsLessThan(N);
// Cross the descending list of two-square sums <= N with
// the same list in ascending order, using a Merge-Match
// algorithm to find all combinations of pairs of two-square
// sums that add up to N
List<int[]> hiList, loList;
int[] hp, lp;
int hiSum, loSum;
List<int[]> results = new List<int[]>();
int prevHi = -1;
int prevLo = -1;
// Set the Merge sources to the highest and lowest entries in the list
int hi = Sqr2s.Count - 1;
int lo = 0;
// Merge until done ..
while (hi >= lo)
{
// check to see if the points have moved
if (hi != prevHi)
{
hiList = Sqr2s[hi];
hp = hiList[0]; // these lists cannot be empty
hiSum = hp[0] * hp[0] + hp[1] * hp[1];
prevHi = hi;
}
if (lo != prevLo)
{
loList = Sqr2s[lo];
lp = loList[0]; // these lists cannot be empty
loSum = lp[0] * lp[0] + lp[1] * lp[1];
prevLo = lo;
}
// do the two entries' sums together add up to N?
if (hiSum + loSum == N)
{
// they add up, so cross the two sum-lists over each other
foreach (int[] hiPair in hiList)
{
foreach (int[] loPair in loList)
{
// make a new 4-tuple and fill it
int[] quad = new int[4];
quad[0] = hiPair[0];
quad[1] = hiPair[1];
quad[2] = loPair[0];
quad[3] = loPair[1];
// only keep those cases where the tuple is already sorted
//(otherwise it's a duplicate entry)
if (quad[1] >= quad[2]) //(only need to check this one case, the others are implicit)
{
results.Add(quad);
}
//(there's a special case where all values of the 4-tuple are equal
// that should be handled to prevent duplicate entries, but I'm
// skipping it for now)
}
}
// both the HI and LO points must be moved after a Match
hi--;
lo++;
}
else if (hiSum + loSum < N)
{
lo++; // too low, so must increase the LO point
}
else // must be > N
{
hi--; // too high, so must decrease the HI point
}
}
return results;
}
Như tôi đã nói trước đây, nó khá gần với O (N), tuy nhiên, như Yuval Filmus chỉ ra, vì số lượng giải pháp Four Square cho N có thể theo thứ tự (N ln ln N), nên thuật toán này không thể ít hơn.