Độ phức tạp thời gian Big-Oh có thể chứa nhiều hơn một biến không?

Ví dụ, tôi đang xử lý chuỗi yêu cầu phân tích hai chuỗi. Tôi không có thông tin nào về chiều dài của chúng có thể là bao nhiêu, vì vậy chúng đến từ hai gia đình riêng biệt. Có thể chấp nhận gọi độ phức tạp của thuật toán hoặc O ( n + m ) (tùy thuộc vào việc chúng ta sử dụng thuật toán ngây thơ hay tối ưu hóa)?$O(n * m)$$O(n + m)$

Trên một mạch tương tự, chúng ta hãy giả sử thuật toán mà chúng ta chọn thực sự yêu cầu hai giai đoạn - giai đoạn thiết lập trên chuỗi đầu tiên cho phép chúng ta xử lý bất kỳ số chuỗi nào khác mà không phải chịu chi phí ban đầu đó. Nó có được coi là thích hợp để nói rằng nó có cấu trúc theo sau bởi bất kỳ số lượng tính toán O ( m ) nào không?$O(n)$$O(m)$

Sẽ là thích hợp nếu chỉ gọi chúng là vì cả hai phép tính đều tuyến tính?$O(n)$

Phải, tất nhiên. Điều này là tốt và hoàn toàn chấp nhận được. Thông thường và tiêu chuẩn để xem các thuật toán có thời gian chạy phụ thuộc vào hai tham số.

Chẳng hạn, bạn sẽ thường thấy thời gian chạy của tìm kiếm theo chiều sâu được biểu thị là , trong đó n là số đỉnh và m là số cạnh trong biểu đồ. Điều này là hoàn toàn hợp lệ. Ý nghĩa của điều này là tồn tại hằng số c và các số n 0 , m 0 sao cho thời gian chạy của thuật toán nhiều nhất là c ⋅ ( n + m ) , với mọi n > n 0 , m > m $O(n+m)$$n$$m$$c$$n_0,m_0$$c \cdot (n+m)$$n>n_0,m>m_0$. Nói cách khác, nếu thời gian chạy chính xác là , chúng ta nói rằng f ( n , m ) = O ( n + m ) nếu tồn tại c , n 0 , m 0 sao cho n > n 0 và m > m 0 ngụ ý f ( n , m ) ≤ c ⋅ ( n + m $f(n,m)$$f(n,m) = O(n+m)$$c,n_0,m_0$$n>n_0$$m>m_0$$f(n,m) \le c \cdot (n+m)$.

Đúng, hoàn toàn phù hợp và chấp nhận được khi nói rằng giai đoạn đầu tiên mất thời gian và giai đoạn thứ hai mất thời gian O ( m ) .$O(n)$$O(m)$

Quan trọng: đảm bảo bạn xác định và m là gì. Bạn không thể nói "đây là thuật toán thời gian O ( n ) " mà không chỉ định n là gì . Nếu n không được chỉ định trong báo cáo vấn đề, bạn cần chỉ định nó. Chẳng hạn, xem các thuật toán đồ thị, trong đó chúng ta thường xác định n = # các đỉnh và m = # của các cạnh.$n$$m$$O(n)$$n$$n$$n =$$m =$

Theo như bạn có thể gọi chúng là thời gian, không, tất nhiên là không - trừ khi bạn bằng cách nào đó biết rằng m = O ( n ) . Tất nhiên, nếu bạn biết rằng m = O ( n ) , thì nó tuân theo m + n = O ( n ) , do đó thuật toán thời gian O ( m + n ) cũng là thuật toán thời gian O ( n ) . Nhưng nếu không có gì đảm bảo rằng m = O $O(n)$$m = O(n)$$m = O(n)$$m+n = O(n)$$O(m+n)$$O(n)$ , sau đó bạn không thể gọi nó làthuật toán thời gian O ( n ) .$m = O(n)$$O(n)$

Đây là công cụ cơ bản. Bạn sẽ tìm thấy nó trên tất cả các sách giáo khoa thuật toán.