Các vấn đề có thể đòi hỏi thời gian bậc hai

Tôi đang tìm kiếm các ví dụ về vấn đề có giới hạn dưới của ) cho đầu vào . $\Omega(|x|^2$ $x$

Vấn đề cần phải có các thuộc tính sau:

$\Omega(n^2)$ Bằng chứng thời gian chạy cho bất kỳ thuật toán nào - ưu tiên hàng đầu là có đối số ràng buộc thấp hơn đơn giản nhất có thể.
$O(n^2)$ Thuật toán , nếu có thể, cũng đơn giản.
Kích thước đầu ra của (hoặc nhỏ hơn). Rõ ràng là bất kỳ vấn đề nào đòi hỏi đầu ra kéo dài ít nhất là thời gian chạy tương tự, nhưng đó không phải là điều tôi đang tìm kiếm. Lưu ý rằng bất kỳ vấn đề quyết định phù hợp ở đây. $O(n)$ $\Omega(n^2)$
(nếu có thể) một vấn đề "tự nhiên". Nếu không có một định nghĩa chính thức, một vấn đề mà bất kỳ sinh viên tốt nghiệp CS nào cũng sẽ nhận ra là tốt hơn.

Gần đây tôi đã được hỏi về vấn đề như vậy nhưng không thể đưa ra một vấn đề đơn giản. Vấn đề đầu tiên xuất hiện trong đầu là , được coi là vấn đề thời gian chạy . Điều này không đủ đơn giản và hơn nữa, cấu trúc gần đây đã được chứng minh là sai : o. $3SUM$ $\Omega(n^2)$

Đi đến một vấn đề cực kỳ không tự nhiên, tôi tin rằng vấn đề xảy ra với tư cách là một TM xác định và đầu vào và đưa ra vị trí của đầu băng sau Các bước khi nó chạy trên có thể trả lời câu hỏi. $\langle M \rangle,x$ $(|M|+|x|)^2$ $x$

Nếu bạn thực sự cần, hãy đồng ý rằng chúng tôi đang sử dụng mô hình TM băng đơn, mặc dù tôi thích các vấn đề có thời gian chạy độc lập với mô hình chính xác (miễn là nó hợp lý).

Vì vậy, chúng ta có thể tìm thấy một vấn đề đơn giản (để chứng minh), tự nhiên (nổi tiếng) có thời gian chạy là không? $\Theta(n^2)$

— RB
nguồn

Tôi nghĩ rằng "Cho các số tự nhiên , , tính " đủ điều kiện. Ngoài ra, lưu ý câu hỏi này .

x

$x$

y

$y$

x + y

$x+y$

— Raphael

Cách duy nhất chúng ta biết làm thế nào để chứng minh giới hạn siêu tuyến trên máy Turing đa nhiệm là thông qua đường chéo. Đối với các máy Turing băng đơn, bạn có thể cải thiện một chút bằng cách sử dụng các chuỗi chéo, nhưng không xa đến trừ khi có lẽ bạn giới hạn không gian.

n^{2}

$n^2$

— Yuval Filmus

Xem ở đây cho một câu hỏi liên quan khác; đảo ngược đầu vào dường như là một ứng cử viên tốt.

— Raphael

Tôi không nghĩ bạn có thể làm điều đó với một vấn đề quyết định, bởi vì giới hạn thấp nhất được tìm thấy cho NP là O (n).

— Albert Hendriks

Cảm ơn bình luận của bạn @AlbertHendriks. Bạn có thể vui lòng chia sẻ một tài liệu tham khảo đến một nguồn / khảo sát cho rằng giới hạn thấp nhất được biết đến cho bất kỳ vấn đề nào trong NP là không?

Ω (n)

$\Omega(n)$

— RB

Câu trả lời:

Tìm cách cắt bánh không ghen tị đòi hỏi các truy vấn . Tuy nhiên, điều này không trả lời trực tiếp câu hỏi của bạn vì mô hình tính toán khác với máy Turing. $\Omega(n^2)$

Nhân tiện, hiện tại thuật toán được biết đến nhanh nhất cho vấn đề này yêu cầu truy vấn, do đó, có một khoảng cách rất lớn từ giới hạn dưới - có thể là một trong những những lỗ hổng lớn nhất trong khoa học máy tính. $n^{n^{n^{n^{n^{n}}}}}$

— Erel Segal-Halevi
nguồn

Như trong liên kết được cung cấp bởi Raphael, Peter cho thấy rằng Reversal yêu cầu thời gian trên các TM băng đơn vanilla. Đối với một vấn đề quyết định, ngôn ngữ cũng có thể cần thời gian để tính toán. Để thấy điều này, sử dụng lập luận phức tạp truyền Phêrô, cùng với một kết quả cổ điển mà cần bit của thông tin liên lạc , để hiển thị các bậc dưới của . Cách tiếp cận tương tự hoạt động cho một cách tự nhiên hơn . $\Theta(n^2)$

L = {x 0^{| x |} x ∣ x \in {0, 1}^{*}}

$L = \{x0^{|x|}x \mid x \in \{0,1\}^\ast \}$

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$

E Q_{n}

$EQ_n$

Θ (n)

$\Theta(n)$

L

$L$

L = {x x ∣ x \in {0, 1}^{*}}

$L = \{xx \mid x \in \{0,1\}^\ast \}$

Nhân tiện, điều đáng nói là "phương pháp chuỗi chéo" được Yuval đề cập là (theo hiểu biết tốt nhất của tôi) tương đương về mặt toán học (hoặc, có thể, kém hơn) so với độ phức tạp trong giao tiếp.

Đối với một ứng cử viên mà không trực tiếp trả lời câu hỏi của bạn, Ryan Williams chứng minh rằng không thể được quyết định trong thời gian và đồng thời không gian trên RAM. Mặc dù hằng số có vẻ khá kỳ diệu, ý tưởng ban đầu đến từ Fortnow, rất tài tình nhưng không quá liên quan. Tham khảo trang 101 trong sách giáo khoa của Barak và Arora để biết cách trình bày ý tưởng. $\mathsf{SAT}$ $O(n^{2 \cos(\pi/7)})$ $n^{o(1)}$ $2 \cos(\pi/7) \approx 1.8$

— Lwins
nguồn