Vấn đề tương tự như thiết lập bao bì

Gọi một nhóm các bộ "đa dạng" nếu mỗi bộ có ít nhất một phần tử duy nhất. Các cách tiếp cận khả thi nào để tìm tập hợp đa dạng lớn nhất trong một họ tập hợp \ mathcal {F} ?$\mathcal{F} = \{S_1, \dotsc, S_k\}$$S_i \in \mathcal{F}$$S$$\mathcal{F}$

Một cách tiếp cận là giải quyết vấn đề đóng gói đã được sửa đổi. Giả sử $\mathcal{F}=\{S_1,\dotsc,S_k\}$ . Đặt $K$ là tập hợp con của các phần tử, $K \subset \bigcup S_i$ và let $\mathcal{F}_{-K}=\{S_1 \setminus K,\dotsc, S_k \setminus K\}$ . Sau đó, tập hợp đa dạng tối đa $S$ tương ứng với tập hợp tập hợp tối đa lớn nhất thu được từ $\mathcal{F}_{-L}$ trong đó $L$ là tập hợp của tất cả các phần tử không duy nhất trong $\mathcal{F}$ .

Nhưng, một heuristic tốt để chọn $K$ gì? Hoặc có những cách tiếp cận tốt hơn hoàn toàn?

Vấn đề là NP-đầy đủ. Điều này loại trừ một thuật toán chính xác hoạt động trong mọi trường hợp, nhưng không loại trừ các thuật toán heuristic hoạt động tốt trong thực tế hoặc thuật toán xấp xỉ với các đảm bảo gần đúng có thể chứng minh được.

Mức giảm là từ 3SAT. Cho một ví dụ 3SAT với các biến và mệnh đề , xây dựng hệ thống thiết lập sau. Với mỗi biến có hai bộ và và bộ và với mỗi mệnh đề có một bộ . Tập hợp bao gồm các yếu tố sau:$\phi$$x_1,\ldots,x_n$$\phi_1,\ldots,\phi_m$$x_i$$A_{i,0}$$A_{i,1}$$N=n+1$$B_{i,t} = \{\beta_{i,t,0},\beta_{i,t,1}\}$$\phi_j$$C_j = \{\gamma_{j,1},\gamma_{j,2},\gamma_{j,3}\}$$A_{i,b}$

• Các phần tử .$N+1$$\alpha_i,\beta_{i,1,b},\ldots,\beta_{i,N,b}$
• Đối với mỗi mệnh đề có chứa là chữ thứ và không được thỏa mãn bởi , phần tử .$\phi_j$$x_i$$k$$x_i = b$$\gamma_{j,k}$

Người ta có thể tìm thấy tập hợp đa dạng khi và chỉ khi là thỏa đáng. Thật vậy, được giao một nhiệm vụ thỏa mãn , gia đình rất đa dạng: chỉ thuộc về , chỉ thuộc về và nếu chữ thứ của được thỏa mãn thì chỉ thuộc về .$n(N+1)+m$$\phi$$\vec{x}$$\{ A_i^{x_i} : i \in [n] \} \cup \{ B_{i,t} : i \in [n], t \in [N] \} \cup \{ C_j : j \in [m] \}$$\alpha_i$$A_i^{x_i}$$\beta_{i,t,1-x_i}$$B_{i,t}$$k$$\phi_j$$\gamma_{j,k}$$C_j$

Đối với converse, giả sử là một họ có kích thước đa dạng ít nhất là , được phân vùng theo loại của bộ. Nếu chứa cả và cho một số , thì . Do đó , điều này là không thể. Do đó và phải chứa tất cả các bộ loại tương ứng và phải chứa bộ, cùng mã hóa một phép gán$\mathcal{S} = \mathcal{A} \cup \mathcal{B} \cup \mathcal{C}$$n(N+1)+m$$\mathcal{A}$$A_{i,0}$$A_{i,1}$$i$$B_{i,1},\ldots,B_{i,N} \notin \mathcal{B}$$|\mathcal{S}| \leq 2n + (n-1)N + m < n(N+1) + m$$\mathcal{B}$$\mathcal{C}$$\mathcal{A}$$n$$\vec{x}$ . Vì rất đa dạng, bằng cách xây dựng phép gán thỏa mãn mệnh đề , do đó là thỏa đáng.$C_j \in \mathcal{S}$$\vec{x}$$\phi_j$$\phi$