Chứng minh độ cứng NP của bài toán phân vùng đồ thị lạ

Tôi đang cố gắng chỉ ra vấn đề sau đây là NP-hard.

Đầu vào: Số nguyên và được kết nối, đồ thị vô hướng , đồ thị có trọng số đỉnh$e$$G=(V,E)$

Đầu ra: Phân vùng , thu được bằng cách xóa bất kỳ cạnh nào khỏi để tối đa hóa$G$$G_p=(V,E_p)$$e$$E$

$$\max \sum\limits_{G_i \in \{G_1,G_2,...,G_k\}} \frac1{|G_i|}\left(\sum_{v_j \in V_i}w(v_j)\right)^{\!2},$$

trong đó $G_p=G_1 \cup G_2 \cup \dots \cup G_k$ và các yếu tố của $G$ không khớp nhau.
$V_i$ là đỉnh được đặt cho $G_i$ và $w(v_j)$ là trọng số của đỉnh $v_j$

Giải thích bằng tiếng Anh đơn giản: Chúng tôi muốn phân vùng biểu đồ bằng cách loại bỏ các cạnh $e$ để tối đa hóa mục tiêu. Mục tiêu tính toán cho mỗi sơ đồ phân tách kết quả tổng hợp các đỉnh của sơ đồ con, bình phương giá trị đó và chia cho số lượng tim. Cuối cùng, chúng tôi tổng hợp này trên tất cả các đồ thị con.

Cho đến nay tôi đã cố gắng giảm từ các vấn đề NP-hard như cắt giảm tỷ lệ, phân vùng (vấn đề không phải đồ thị) và max multicut. Tôi cũng đã cố gắng chỉ ra các trường hợp đặc biệt của vấn đề là NP-hard (ít lý tưởng hơn). Lý do tôi nghi ngờ vấn đề này là NP-hard (bên cạnh hầu hết các vấn đề phân vùng đồ thị là NP-hard) là sự hiện diện của thuật ngữ cardinality và các thuật ngữ chéo giữa các trọng số phân vùng. Bất kỳ đề xuất đầu vào / vấn đề sẽ hữu ích. Một bằng chứng NP-hard cho bất kỳ loại biểu đồ cụ thể nào sẽ hữu ích.

Hãy giảm vấn đề cắt đa đường, một biến thể của -cut tối thiểu$k$ , cho vấn đề của bạn. Cụ thể, hãy xem xét vấn đề cắt 3 chiều tối thiểu, đó là NP-hard cho tất cả trọng lượng cạnh bằng 1 (xem Độ phức tạp của cắt đa đường ).

Một vấn đề cắt 3 chiều (tối thiểu) là: đưa ra biểu đồ và các đầu cuối , tìm một tập hợp các cạnh tối thiểu sao cho loại bỏ từ ngắt kết nối từng thiết bị đầu cuối khỏi các thiết bị khác. Phiên bản quyết định của nó là tìm hiểu xem có thể ngắt kết nối bằng cách xóa không quá các cạnh , trong đó là một phần của đầu vào.$G = (V,E)$$s_1,s_2,s_3\in V$$E'\subseteq E$$E'$$E$$s_i$$s_1,s_2,s_3$$w$$w$

Cho đồ thị$G$, thiết bị đầu cuối $s_1,s_2,s_3$ và số nguyên $w$, chúng tôi muốn giảm vấn đề cắt 3 chiều thành "vấn đề phân vùng biểu đồ lạ" của bạn. Đối với mỗi thiết bị đầu cuối$s_i$, chúng tôi thêm $N$nhiều hơn để được hàng xóm của nó. Như được gợi ý bởi tên của nó,$N$sẽ là một số lượng đủ lớn. Trọng lượng của tất cả các đốt là 0 ngoại trừ$s_1,s_2,s_3$, có trọng lượng là $1,10,100$tôn trọng. Biểu thị biểu đồ mới này bằng$G'$. Hiển nhiên là$s_1,s_2,s_3$ có thể bị ngắt kết nối bằng cách loại bỏ $w$ cạnh trong $G$ nếu và chỉ khi chúng có thể bị ngắt kết nối bằng cách loại bỏ $w$ cạnh trong $G'$.

Nếu một phân vùng $G'_p$ của $G'$ ngắt kết nối $s_1,s_2,s_3$, điểm số của nó là khoảng $10101/N$hay chính xác hơn là không ít hơn

$$\frac{10101}{N+n}$$ như một phần có chứa $s_i$ không có nhiều hơn $N+n$ đốt sống, ở đâu $n$ là số lượng đỉnh trong $G$. Mặt khác, nếu một phân vùng$G'_p$ không ngắt kết nối $s_1,s_2,s_3$, điểm số của nó không hơn $$\frac{10060.5}{N-w}$$ . Khi nào$N$ là đủ lớn, $\frac{10101}{N+n} > \frac{10060.5}{N-w}$, vì thế $G$ có thể được phân vùng 3 chiều bằng cách loại bỏ $w$ cạnh nếu và chỉ khi $G'$ có một phân vùng loại bỏ $w$ cạnh, có điểm ít nhất $\frac{10101}{N+n}$.