Là bộ máy Turing dừng lại tối đa 50 bước trên tất cả các đầu vào, có thể quyết định không?

Hãy để $F = \{⟨M⟩:\text{M is a TM which stops for every input in at most 50 steps}\}$ . Tôi cần phải quyết định xem F có thể quyết định hay đệ quy được không. Tôi nghĩ đó là quyết định, nhưng tôi không biết làm thế nào để chứng minh điều đó.

Suy nghĩ của tôi

Phần "50 bước" này ngay lập tức biến ký hiệu R cho tôi. Nếu nó là cho đầu vào cụ thể, nó sẽ được quyết định. Tuy nhiên, đây là cho mọi đầu vào. Kiểm tra nó cho đầu vào vô hạn làm tôi nghĩ rằng vấn đề là đồng RE , tức là phần bù của nó có thể chấp nhận được.

Có lẽ, tôi có thể kiểm tra các cấu hình và thấy rằng tất cả các cấu hình sau 50 bước không dẫn đến chấp nhận trạng thái - làm thế nào để tôi làm điều đó?

$N$$N \geqslant 1$

Như swegi nhận xét trong một phản hồi trước đó, nếu máy dừng sau tối đa bước, thì chỉ các ô trên băng là đáng kể. Sau đó, nó đủ để mô phỏng máy trên tất cả các chuỗi đầu vào có dạng , trong đó có một số hữu hạn.$N$$0,1,\ldots,N-1$$M$$x \in \Sigma^N$

• Nếu bất kỳ mô phỏng nào trong số này không thể chuyển sang trạng thái tạm dừng bởiquá trình chuyển đổi, điều này chỉ ra rằng bất kỳ chuỗi đầu vào nào bắt đầu bằng là một chuỗi mà máy không dừng trong bước đầu tiên .$N^{\text{th}}\:\!$$x$$N$
• Nếu tất cả các mô phỏng này bị dừng bởiquá trình chuyển đổi, sau đó dừng lại trong bước trên tất cả các đầu vào có độ dài bất kỳ (trong đó chuỗi con có độ dài là tất cả những gì nó từng hoạt động).$N^{\text{th}}\:\!$$M$$N$$N$

Nếu dừng lại không quá 50 bước, thì các vị trí có thể đạt được trên băng vô hạn thông thường bị giới hạn. Do đó, băng vô hạn có thể được mô phỏng bởi một cái hữu hạn. Điều này có nghĩa là băng có thể được mô phỏng bằng máy tự động hữu hạn. Nó sau đó một máy Turing mà dừng lại trong không quá 50 bước là bisimilar một số hữu hạn automaton .$M$$M$$M$$M'$

Đặt là tập hợp các trạng thái của , các trạng thái chấp nhận và là bảng chữ cái. Sau đó, chúng ta xây dựng tập hợp các trạng thái của như sau: trong đó là vị trí của đầu đọc / ghi phía trên băng. Chúng tôi có thể giới hạn vị trí ở vì số bước tính toán được phép giới hạn số lượng vị trí có thể tiếp cận.$Q$$M$$F \subset Q$$\Gamma$$Q'$$M'$$Q' = \{ \langle n, q, s, p, a\rangle \, | n \in \{0,...,50\} \, q \in Q, s \in \Gamma, p \in \{-50,...,50\}, a \equiv q \in F\}$$p$$\{-50,...,50\}$

Có trạng thái của máy tự động hữu hạn có nghĩa là chúng ta đang ở trạng thái của máy tự động ban đầu, với trên băng ở vị trí cũng có đầu đọc / ghi được định vị, sau bước tính toán thứ . Trạng thái là trạng thái chấp nhận nếu .$\langle n, q, s, p, a\rangle$$M'$$q$$s$$p$$n$$a \equiv true$

Chuyển đổi mối quan hệ chuyển tiếp của máy xử lý bê tông là công việc nhiều hơn một chút nhưng không cần thiết cho câu hỏi ban đầu, bởi vì nó đủ để cho thấy không gian trạng thái là hữu hạn (và do đó chúng ta chỉ có thể kiểm tra mỗi đầu vào với độ dài tối đa là 50 ký hiệu trên mỗi máy tự động như vậy). Ý tưởng là xây dựng một mối quan hệ chuyển tiếp mới đi từ trạng thái sang trạng thái in các -thứ bước khi và chỉ khi quá trình chuyển đổi máy tính là trong quan hệ chuyển tiếp ban đầu.$\langle n, q, s, p, a \rangle$$\langle n+1, q', s', p', a'\rangle$$n$$\langle q, s, p\rangle \rightarrow \langle q', s', p'\rangle$