Có một thuật toán có thể tồn tại mặc dù chúng ta không biết nó là gì?

Trong toán học, có nhiều bằng chứng tồn tại không mang tính xây dựng, vì vậy chúng ta biết rằng một đối tượng nào đó tồn tại mặc dù chúng ta không biết cách tìm ra nó.

Tôi đang tìm kiếm kết quả tương tự trong khoa học máy tính. Cụ thể: có một vấn đề mà chúng ta có thể chứng minh nó có thể quyết định được mà không hiển thị thuật toán cho nó không? Tức là chúng ta biết rằng nó có thể được giải bằng thuật toán, nhưng chúng ta không biết thuật toán trông như thế nào?

Trường hợp đơn giản nhất mà tôi biết về một thuật toán tồn tại, mặc dù không biết thuật toán nào, liên quan đến automata trạng thái hữu hạn.

Các thương của một ngôn ngữ L 1 bằng một ngôn ngữ L 2 được định nghĩa là L 1 / L 2 = { x | ∃ y ∈ L 2  đến nỗi  x y ∈ L 1 } .$L_1/L_2$$L_1$$L_2$$L_1/L_2=\{x \mid \exists y\in L_2 \text{ such that } xy\in L_1\}$

Người ta dễ dàng chứng minh rằng tập thông thường được đóng dưới thương số bằng một tập tùy ý. Nói cách khác, nếu là thường xuyên và L 2 là tùy ý (không nhất thiết phải thường xuyên), thì L 1 / L 2 cũng thường xuyên.$L_1$$L_2$$L_1/L_2$

Bằng chứng khá đơn giản. Hãy để là một FSA chấp nhận các thiết lập thường xuyên R , nơi Q và F lần lượt là tập hợp của tiểu bang và các thiết lập của các quốc gia chấp nhận, và để cho L là một ngôn ngữ bất kỳ. Hãy F ' = { q ∈ Q | ∃ y ∈ $M=(Q,\Sigma,\delta,q_0,F)$$R$$Q$$F$$L$ là tập hợp của các quốc gia mà từ đó một trạng thái cuối cùng có thể đạt được bằng cách chấp nhận một chuỗi từ L .$F'=\{q\in Q\mid \exists y\in L \;\;\delta(q,y)\in F\}$$L$

Các máy tự động , mà khác với M chỉ trong bộ của nó F ' của các quốc gia chính thức công nhận một cách chính xác R / L . (Hoặc xem Hopcroft-Ullman 1979, trang 62 để biết bằng chứng về thực tế này.)$M'=(Q,\Sigma,\delta,q_0,F')$$M$$F'$$R/L$

Tuy nhiên, khi các thiết lập là không decidable, có thể không có thuật toán để quyết định các quốc gia có tài sản định nghĩa F ' . Vì vậy, trong khi chúng ta biết rằng tập F ′ là tập con của Q , chúng ta không có thuật toán để xác định tập hợp con nào. Do đó, trong khi chúng ta biết rằng R được chấp nhận bởi một trong 2 | Q | có thể là FSA, chúng tôi không biết đó là gì. Mặc dù tôi phải thú nhận rằng chúng ta biết rất nhiều về nó trông như thế nào.$L$$F'$$F'$$Q$$R$$2^{|Q|}$

Đây là một ví dụ về những gì đôi khi được gọi là một bằng chứng gần như mang tính xây dựng , đó là một bằng chứng cho thấy một trong số các câu trả lời hữu hạn là đúng.

Tôi cho rằng một phần mở rộng của điều đó có thể là một bằng chứng cho thấy một trong vô số các câu trả lời là đúng. Nhưng tôi không biết gì cả. Tôi cũng không biết một bằng chứng hoàn toàn không mang tính xây dựng rằng một số vấn đề có thể quyết định được, ví dụ như chỉ sử dụng mâu thuẫn.

Để mở rộng nhận xét ban đầu của Hendrick, hãy xem xét vấn đề này

Đưa ra một số nguyên là có một hoạt động của n hoặc 7s liên tiếp hơn trong việc mở rộng thập phân của π ?$n\ge 0$$n$$\pi$

Vấn đề này là có thể quyết định, vì một trong hai trường hợp có thể có được:

1. Có một số nguyên mà phần mở rộng thập phân của π chứa một lần chạy N liên tiếp 7 giây, nhưng không còn chạy nữa.$N$$\pi$$N$
2. Đối với bất kỳ , sự mở rộng của π có n chạy 7 giây liên tiếp.$n$$\pi$$n$

Trong trường hợp (1) thuật toán quyết định cho vấn đề sẽ là một trong

Nếu trả lời "không" thì người khác trả lời "có".$n > N$

và trong trường hợp (2) thuật toán sẽ là

Trả lời có".

Rõ ràng mỗi trong số này là một thuật toán quyết định; chúng ta không biết cái nào Đó là đủ, tuy nhiên, kể từ khi decidability chỉ đòi hỏi sự tồn tại của một thuật toán, không phải là đặc điểm kỹ thuật của mà thuật toán để sử dụng.

Đây là một câu trả lời không. Tôi đang đăng bài vì tôi tin rằng đó là hướng dẫn, bởi vì ban đầu tôi đã tuyên bố ngược lại và tám người đã đồng ý đủ để nâng cao trước khi @sdcwc chỉ ra sai lầm. Tôi không muốn chỉ chỉnh sửa câu trả lời đầu tiên của mình vì tôi không chắc nhiều người sẽ ủng hộ nó nếu họ biết nó sai.

Ban đầu tôi đã tuyên bố rằng việc lấy bất kỳ tập hợp  nào mà chúng ta biết là hữu hạn nhưng chúng ta không biết các thành viên. Vì S  là hữu hạn, nó là đệ quy, nên có một thuật toán nhưng tôi tuyên bố rằng chúng ta không biết nó là gì.$S$$S$

$H$$H$