Nếu L không có ngữ cảnh, FH (L) phải không có ngữ cảnh?

Định nghĩa $FH(L) = \{x \in \Sigma^* : \exists y \in \Sigma^* \text{ with } |x| = |y| \text{ such that } xy \in L\}$. Nói cách khác,$FH(L)$ là tập hợp các nửa đầu tiên của chuỗi có độ dài chẵn trong $L$. Cho cái này, nếu$L$ không có ngữ cảnh, phải $FH(L)$ không bối cảnh?

Đây là nỗ lực của tôi tại một bằng chứng:

Từ $L$ là một CFL, tồn tại một nhận dạng PDA không xác định $L$, $M = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, Z_0, F)$, Ở đâu $\Sigma$ là bảng chữ cái đầu vào, $\Gamma$ là bảng chữ cái ngăn xếp, và $Z_0$là biểu tượng đại diện cho nội dung ngăn xếp ban đầu. Xây dựng PDA$M'$ từ $M$, với $M' = (Q', \Sigma, \Gamma, \delta', q_0', Z_0, F')$, được định nghĩa như sau:

$Q' = {q_0'} \cup (Q \times \Gamma_{\varepsilon}) \times (Q \times \Gamma_{\varepsilon}) \times (Q \times \Gamma_{\varepsilon})$.

$F' = \{[(q,X),(q,X),(p,Y)] : X,Y \in \Gamma_\varepsilon \text{ and } p \in F\}$

$\delta'(q'_0, \varepsilon, \varepsilon) = \{([(q,X), (q_0,Y), (q,X)], \varepsilon) : q \in Q \text{ and } X,Y \in \Gamma_\varepsilon \}$

$\delta'([(q,X),(p,Y),(r,Z)], a, \varepsilon) = \{([(q,X),\delta(p,a,Y), \delta(r,b,Z)], \varepsilon): X,Y,Z \in \Gamma_\varepsilon\ \text{ and } b \in \Sigma\}$

Thành phần đầu tiên của một nhà nước ở $Q'$ ghi lại trạng thái đoán $q$và không thay đổi một khi nó được ghi lại ban đầu. Phần tử thứ hai ghi lại trạng thái chúng ta đang ở sau khi đã xử lý một số tiền tố của đầu vào x, bắt đầu từ trạng thái$q_0$và phần tử thứ ba ghi lại trạng thái chúng ta đang ở sau khi xử lý một số tiền tố của dự đoán $y$, bắt đầu từ $q$.

Tôi không chắc bằng chứng này có hiệu quả không, vì tôi hơi bối rối không biết phải làm gì với stack cho $M'$.

Trực giác phát triển trong các ý kiến ​​là đúng. Câu trả lời là KHÔNG, có một ví dụ ngược lại, CFL mà nửa đầu tiên không phải là CFL.

$L = \{ a^m b^n c^n a^{3m} \mid m,n\ge 1 \}$, trên bảng chữ cái $\{a,b,c\}$, từ câu trả lời trên trang web chị em của chúng tôi .

Bằng chứng là bổ đề bơm: chọn $a^p b^p c^p \in \mathrm{FH}(L)$; bơm hoặc phá hủy "$b^n c^n$"- hoặc" nửa đầu "-property.

Một sự thích nghi nhẹ của ngôn ngữ đó là $K = \{ a^m b^n c^n \#\# a^{3m} \mid m,n\ge 1 \}$, trên bảng chữ cái $\{a,b,c,\#\}$. Bây giờ chúng ta có thể "buộc" điểm mà vị trí cắt của nửa đầu và có được một kỹ thuật chứng minh khác.

Để cho $H = FH(K) \cap a^*b^*c^*\#$. Điều này có nghĩa là chúng ta chỉ xem xét một nửa đầu tiên trong đó giữa là chính xác tại điểm giữa hai$\#$-symbols. Như vậy.$m+2n+1=1+3m$, hoặc là $m=n$. Như vậy$H=\{a^nb^nc^n \mid n\ge 1\}\#$. Bây giờ nếu$K$ không có ngữ cảnh rồi $H$không có ngữ cảnh (thông qua giao điểm thuộc tính đóng bằng các ngôn ngữ thông thường). Ngôn ngữ này gần với một ví dụ phi ngữ cảnh tiêu chuẩn$\{a^nb^nc^n \mid n\ge 1\}$. Điều này lần lượt có thể có được bằng thương số đúng với$\#$trong đó cũng bảo tồn bối cảnh .