Độ phức tạp thời gian của một vòng lặp ba lồng

Vui lòng xem xét vòng lặp ba lồng sau đây:

for (int i = 1; i <= n; ++i)
    for (int j = i; j <= n; ++j)
        for (int k = j; k <= n; ++k)
            // statement

Câu lệnh ở đây được thực thi chính xác lần. Ai đó có thể vui lòng giải thích làm thế nào công thức này đã thu được? Cảm ơn bạn.$n(n+1)(n+2)\over6$

Bạn có thể đếm số lần vòng lặp trong cùng cho vòng lặp được thực hiện bằng cách đếm số lượng bộ ba $(i,j,k)$ mà nó được thực hiện.

Bởi các điều kiện vòng lặp chúng ta biết rằng: $1 \leq i \leq j \leq k \leq n$ . Chúng ta có thể giảm nó thành vấn đề tổ hợp đơn giản sau đây.

• Hãy tưởng tượng $n+2$ hộp màu đỏ được đặt trong một mảng từ trái sang phải.
• Chọn bất kỳ 3 hộp từ hộp $n+2$ và sơn chúng màu xanh.
• Tạo thành một bộ ba như sau: $(i,j,k)$
  • = 1 + số hộp màu đỏ ở bên trái hộp màu xanh đầu tiên.$i$
  • = 1 + số hộp màu đỏ ở bên trái hộp màu xanh thứ hai.$j$
  • = 1 + số hộp màu đỏ ở bên trái hộp màu xanh thứ ba.$k$

Vì vậy, chúng ta chỉ cần đếm số cách chọn 3 hộp từ hộp là ( n + $n+2$ .$n+2 \choose 3$

đối với tôi, dễ dàng nhận thấy vòng lặp bên trong được thực hiện lần và tổng số lần thực hiện trong vòng lặp bên trong là$n-i$

$(n-i)+(n-i-1)+(n-i-2)+\ldots+1$

điều này có thể được viết lại dưới dạng và được thực hiện n lần, vì vậy tổng số lần thực hiện là$\sum_{j=0}^{n-i} n-i-j$$n$