Tìm superset nhỏ của ít nhất k trong n bộ đã cho

Nói rằng chúng tôi đã cho $n$ bộ và quy mô của liên minh của họ là $m$. Chúng tôi muốn xây dựng một bộ nhỏ chứa ít nhất$k$ sau đó $n$ bộ đã cho.

Hãy cho rằng $m$ ít hơn một số đa thức trong $n$, I E: $m < P(n)$. Trong trường hợp này, có một thuật toán (đa thức) hiệu quả cho bài toán tối ưu hóa:

Tìm tập nhỏ nhất chứa ít nhất $k$ sau đó $n$ bộ đã cho.

Vấn đề là NP-đầy đủ. Dưới đây là mức giảm từ 3SAT-5, phiên bản hoàn chỉnh NP của 3SAT trong đó mỗi biến xuất hiện chính xác 5 lần (và do đó, số lượng biến và số mệnh đề có liên quan tuyến tính).

Chúng tôi bắt đầu bằng cách xây dựng hai hệ thống thiết lập. Hệ thống đầu tiên$\mathcal{S}$ gồm 6 bộ $A_0,A_1,B_0,B_1,C_0,C_1$ và 15 yếu tố $D = \{0,1\}^4 \setminus (1,1,1,1)$và có các thuộc tính sau:

$$|A_i \cup B_j \cup C_k| = \begin{cases} 14 & \text{if } i=j=k=0, \\ 13 & \text{otherwise}. \end{cases}$$ Hệ thống thiết lập được đưa ra bởi $$\begin{align*} A_i &= \{(a,b,c,d) \in D : a = i\}, \\ B_i &= \{(a,b,c,d) \in D : b = i\}, \\ C_i &= \{(a,b,c,d) \in D : c = i\}. \end{align*}$$ Các yếu tố duy nhất không được bao phủ bởi $A_i \cup B_j \cup C_k$ là những hình thức $(1-i,1-j,1-k,d)$. Nếu$i = j = k = 0$ sau đó có một yếu tố như vậy, nếu không có hai.

Hệ thống thứ hai $\mathcal{T}$ bao gồm $2n$ bộ $X_1,Y_1,\ldots,X_n,Y_n$ và $O(n^2)$các yếu tố, và có các thuộc tính sau. Gọi một gia đình$n$ đặt ra $\mathcal{T}$ thích hợp nếu nó chứa chính xác một trong mỗi$X_i,Y_i$. Tất cả các gia đình thích hợp của$n$ bộ bao gồm cùng một số phần tử $M$và mỗi gia đình không đúng $n$ bộ ít nhất $M+1$ các yếu tố.

Tập hợp các phần tử bao gồm tất cả các cặp tập hợp không có thứ tự $\{S,T\}$ khác với những người có hình thức $\{X_i,Y_i\}$. Mỗi bộ$S \in \mathcal{T}$ bao gồm tất cả $2n-2$cặp chứa nó. Để cho$\mathcal{F}$ là một gia đình của $n$ bộ, với bổ sung $\overline{\mathcal{F}}$. Các yếu tố duy nhất không được bao phủ bởi$\mathcal{F}$ là những hình thức $\{S,T\}$ Ở đâu $S,T \in \overline{\mathcal{F}}$. Nếu$\mathcal{F}$ là đúng rồi $\overline{\mathcal{F}}$và do đó, có các phần tử không được đề cập. Nếu không đúng thì và do đó, có ít hơn phần tử không được đề cập.$\binom{n}{2}$$\mathcal{F}$$\overline{\mathcal{F}}$$\binom{n}{2}$

Giảm. Đặt là một thể hiện của 3SAT-5 với biến và mệnh đề. Đối với mỗi mệnh đề có một bản sao của hệ thống . Ngoài ra còn có một bản sao của trong đó mỗi phần tử được thay thế bằng phần tử. Tổng số phần tử là đa thức trong .$\phi$$n$$m=5n/3$$\phi_j$$\mathcal{S}_j$$\mathcal{S}$$\tilde{\mathcal{T}}$$\mathcal{T}$$N = 13m+1$$n$

Với mỗi biến có hai bộ và . Tập là tập hợp của sáu bộ sau:$x_i$$X_i^0$$X_i^1$$X_i^0$

• bộ của$X_i$$\tilde{\mathcal{T}}$
• đối với mỗi mệnh đề chứa ở vị trí đầu tiên, nếu xuất hiện tích cực, thì tập của , nếu không thì tập của$\phi_j$$x_i$$x_i$$A_0$$\mathcal{S}_j$$A_1$$\mathcal{S}_j$
• cho mỗi mệnh đề chứa ở vị trí thứ hai, hoặc (như trên)$\phi_j$$x_i$$B_0$$B_1$
• cho mỗi mệnh đề chứa ở vị trí thứ ba, hoặc (như trên)$\phi_j$$x_i$$C_0$$C_1$

Tập được định nghĩa tương tự như tập hợp của sáu bộ sau:$X_i^1$

• bộ của$Y_i$$\tilde{\mathcal{T}}$
• đối với mỗi mệnh đề chứa ở vị trí đầu tiên, nếu xuất hiện phủ định, thì tập của , nếu không thì tập của$\phi_j$$x_i$$x_i$$A_0$$\mathcal{S}_j$$A_1$$\mathcal{S}_j$
• cho mỗi mệnh đề chứa ở vị trí thứ hai, hoặc (như trên)$\phi_j$$x_i$$B_0$$B_1$
• cho mỗi mệnh đề chứa ở vị trí thứ ba, hoặc (như trên)$\phi_j$$x_i$$C_0$$C_1$

Vấn đề là quyết định xem có tập hợp bao gồm các phần tử (hoặc ít hơn) hay không.$n$$13m+NM$

Nếu là thỏa đáng, hãy nói với phép gán , sau đó bao gồm chính xác các phần tử . Ngược lại, giả sử có một cách để bao phủ tối đa phần tử . Nếu giải pháp không phù hợp thì nó bao gồm ít nhất các phần tử (chỉ xem xét ). Nếu đúng thì nó tương ứng với một số phép gán và dễ dàng kiểm tra xem số phần tử được bao phủ là , trong đó là số mệnh đề sai. Do đó và chúng tôi kết luận rằng$\phi$$x_i$$\{X_i^{x_i} : 1 \leq i \leq n\}$$13m+NM$$13m+NM$$N(M+1) > 13m+NM$$\tilde{\mathcal{T}}$$x_i$$13m+NM+Z$$Z$$Z = 0$$x_i$ là một nhiệm vụ thỏa mãn.