Cần một gợi ý! Thuật toán của Karger so với Kruskal, phân bố cây bao trùm

Đặt G = (V, E) là đồ thị có công suất đơn vị với n đỉnh và m cạnh.

Gọi T là tất cả các cây bao trùm trong G.

Nếu chúng tôi chạy thuật toán của Karger, chúng tôi sẽ nhận được một cây bao trùm ngẫu nhiên trong T được hình thành bởi các cạnh được ký hợp đồng, chúng tôi biểu thị sự phân phối các cây bao trùm này bằng D1.

Mặt khác, nếu chúng ta gán một trọng số ngẫu nhiên theo (0,1) cho mỗi cạnh và tính toán một cây bao trùm tối thiểu bằng thuật toán của Kruskal, thì sẽ thu được một phân phối D2 khác trên T.

Cho thấy các bản phân phối D1 và D2 ​​giống hệt nhau.

Tôi không có ý tưởng bắt đầu từ đâu. Bất kỳ gợi ý là hữu ích!

Bạn nên chỉ ra rằng ở mỗi bước, cả hai thuật toán đều chọn một cạnh có cùng phân phối xác suất. Ví dụ, cạnh đầu tiên được thuật toán của Karger ký hợp đồng là cạnh ngẫu nhiên đồng nhất. Tương tự, nếu bạn chọn trọng số ngẫu nhiên, cạnh đầu tiên được chọn trong thuật toán của Kruskal là cạnh ngẫu nhiên đồng nhất.

Còn cạnh tiếp theo thì sao? Thuật toán của Karger chọn một cạnh ngẫu nhiên đồng nhất khác. Sau khi loại bỏ cạnh đầu tiên, các cạnh còn lại được sắp xếp hoàn toàn ngẫu nhiên. Do đó, cạnh tiếp theo được chọn bởi thuật toán của Kruskal cũng đồng nhất ngẫu nhiên.

Do đó, từ cạnh thứ ba, một số lựa chọn cạnh sẽ không tốt - sẽ đóng một chu kỳ. Tuy nhiên, theo thiết kế, điều đó không xảy ra trong cả hai thuật toán và nếu không thì cạnh được chọn là ngẫu nhiên.

Đây là ý tưởng của bằng chứng, và nó vẫn còn để làm cho nó chính thức. Đó là nhiệm vụ của bạn.